文档介绍：§ 波函数的统计解释
(一)波函数
(二)波函数的解释
(三)波函数的性质
(四)自由粒子的波函数
3个问题?
(1) 是怎样描述粒子的状态呢?
(2) 如何体现波粒二象性的?
(3) 描写的是什么样的波呢?
(一)波函数
返回§1
(二)波函数的解释
(1)两种错误的看法
1. 波由粒子组成
如,声波,由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
这种看法是与实验矛盾的,它不能解释长时间单个电子衍射实验。
电子一个一个的通过小孔,但只要时间足够长,底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象,单个电子就具有波动性。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面,而抹杀了粒子的波动性的一面,具有片面性。
P
P
Q
Q
电子源
感光屏
O
事实上,正是由于单个电子具有波动性,才能理解氢原子(只含一个电子!)中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构,是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包?波包是各种波数(长)平面波的迭加。平面波描写自由粒子,其特点是充满整个空间,这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成,那么自由粒子将充满整个空间,这是没有意义的,与实验事实相矛盾。
实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内。例如在一个原子内,其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子究竟是什么东西呢?是粒子?还是波? “电子既不是粒子也不是波”,既不是经典的粒子也不是经典的波, 但是我们也可以说,“电子既是粒子也是波,它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着 ,每一时刻有一定位置和速度。
经典概念中 ;
波意味着 、衍射现象,即相干叠加性。
(2)Born 波函数的统计解释几率波
电子源
感光屏
Q
Q
O
P
P
我们再看一下电子的衍射实验
据此,描写粒子的波可以认为是几率波,反映微观客体运 动的一 种统计规律性,波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释,它是量子 力学的基本原理。
假设衍射波波幅用Ψ(r) 描述,与经典波相似, 衍射花纹的强度则用|Ψ(r)|2 描述,但意义与经典波不同。
|Ψ(r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小, 确切的说, |Ψ(r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处,体积元Δx Δy Δz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度(振幅 绝对 值的平方)和在这点找到粒子的几率成比例,
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(三)波函数的性质
在 t 时刻, r 点,d τ= dx dy dz 体积内,找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是:
d W( r, t) = C|Ψ(r,t)|2 dτ, 其中,C是比例系数。
根据波函数的几率解释,波函数有如下重要性质:
(1)几率和几率密度
在 t 时刻 r 点,单位体积内找到粒子的几率是: ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ(r,t)|2
称为几率密度。
在体积 V 内,t 时刻找到粒子的几率为:
W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ(r,t)|2 dτ
(2) 平方可积
由于粒子在空间总要出现(不讨论粒子产生和湮灭情况),所以在全空间找到粒子的几率应为一,即:
C∫∞|Ψ(r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为:
C = 1/ ∫∞|Ψ(r , t)|2 dτ
这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
若
∫∞|Ψ(r , t)|2 dτ∞, 则 C 0, 这是没有意义的。
(3)归一化波函数
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍(原来的 2 倍),则相应的波动能量将为原来的 4 倍,因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。
Ψ(r , t ) 和 CΨ(r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的,这里的 C 是常数。因为在 t 时刻,空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是:
由于粒子在全空间出现的几率等于一,所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例,而不取决于强度的绝对大小,因而,将波函数乘上一个常数后,所描写的粒子状态不变,即
Ψ(r, t) 和 C