文档介绍：双曲线及其标准方程
制作人:随州市实验高中尚小艳
先用教具重演椭圆轨迹的形成过程,并和同学们一起复****椭圆的定义、焦点、焦距﹑标准方程的概念.
提问:在椭圆的标准方程中,字母b与a﹑c的关系
如何?
(1)设问:“与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹”是什么?
(2)绘图:取一条长拉链,拉开它的一部分,
在拉开的两条边上一条边选择其端点,另一条
边选择中间的一点,分别固定在F1,F2上,F到
F2的长为2a(a>0),把笔尖放在M处,随着拉链
逐渐拉开或者闭拢,笔尖就画出一条曲线.
拉链的两条边原来是等长的,
|MF1|=|MF2|+|F2F|,所以拉开或者闭拢拉链时,虽然M点在移动,但|MF1|却总是比|MF2|
长出|F2F|这段定长2a,所以M点移动的轨迹是
满足什么条件的点的集合呢?
(请学生回答该问题,教师作补充说明)
P={M||MF1|-|MF2|=2a}
归纳小结
上面的两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做
双曲线的一支,其中右边一支满足|MF1|>|MF2|
左边的一支满足|MF2|>|MF1|的条件。
先由学生(点名提问)根据绘图原理试叙双曲线
的定义,教师再根据学生的回答的具体情况逐字
逐句订正后给出完整的定义.
我们把平面内与两个定点F1﹑F2的距离的差的
绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
.
两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
注意:
:因为|MF1|-|MF2|=2a或者
|MF2|-|MF1|=2a都只是双曲线的一支,所以
双曲线的定义中应该是||MF1|-|MF2||=2a.
:指2a.|F2F|或|F1F|,与椭圆定义中的
2a意义不同.(请学生回答椭圆定义中2a意义)
另外2a必须满足非零和小于|F1F2|这个条件
(请同学回答这里为什么要满足这个条件,如果
不满足,后果如何?
小结:
①若2a=0,则M点的轨迹是线段F1F2垂直平分线.
②若2a=|F1F2|,则M点的轨迹是直线F1F2上除
去线段F1F2中间部分的,以F1、F2为端点的
两条射线.
③若2a> |F1F2|,则M点轨迹不存在.
④若2a< |F1F2|,则M点的轨迹是以F1,F2为
焦点的双曲线.
与椭圆定义的联系与区别
比较双曲线与椭圆定义中焦点焦距
的不同点
先引导学生回忆求曲线方程的一般步骤,然后循此步骤推导双曲线的标准方程.
①.在回忆椭圆方程推导时如何建立坐标系后,
建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.
②.启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集:
P={M||MF1|-|MF2|=±2a}
③.用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0
④.化方程f(x,y)=
复杂,教师应该引导学生自己动手,并进行指导.