文档介绍：探究性活动
镶嵌
(二)
天马行空官方博客:http://t./tmxk_docin ;QQ:1318241189;QQ群:175569632
要设计几种地板图案,必须解决如下问题:
1. 如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种多边形能镶嵌成一个平面?
2. 如果允许用几种正多边形组合起来镶嵌,由哪几种多边形组合起来能镶嵌成一个平面?
这种情况上次课已经讨论
下面研究这种情况
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分别讨论如下:
(1)正三角形与正方形
因此这样的平面镶嵌存在。
(一)用两种正多边形镶嵌:
设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正方形的角。那么这些角的和应满足方程:
m·60°+n·90°=360°
即:2m+3n=12
m=3
n=2
这个方程的整数解为:
想一想,在它的每一个顶点周围有几个正三角形和几个正方形。
由计算知:一个顶点周围有3个正三角形和2个正方形。其镶嵌图形如下例:
例1
例2
例3
由上例可以看到:其镶嵌图形中,虽然镶嵌方式有所不同,但在每一个顶点周围有3个正三角形和2个正方形。
(2)正三角形与正六边形
因此这样的平面镶嵌存在。
设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正六边形的角。那么这些角的和应满足方程:
m·60°+n·120°=360°
即:m+2n=6
m=4
n=1
这个方程的整数解为:
想一想,在它的每一个顶点周围有几个正三角形和几个正方形。
由计算知:一个顶点周围有4个正三角形和1个正六边形或有2个正三角形和2个正六边形。其镶嵌图形如下例:
或
m=2
n=2
顶点处有两个正三角形和两个正六边形
顶点处有四个正三角形和一个正六边形
以上两例的混合镶嵌
例1
例2
例3
想一想:
1、如果用正三角形与正十二边形作平面镶嵌,有几种可能的情况?为什么?
设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正十二边形的角。那么这些角的和应满足方程:
m·60°+n·150°=360°
即:2m+5n=12
m=1
n=2
这个方程的整数解为:
1、如果用正四边形与正八边形作平面镶嵌,有几种可能的情况?为什么?
设在一个顶点周围有m个正四边形的角、n个正八边形的角。那么这些角的和应满足方程:
m·90°+n·135°=360°
即:2m+3n=8
m=1
n=2
这个方程的整数解为:
(二)假如用三种不同的正多边形镶嵌,同样,必须在一个顶点处,正多边形的内角之和为360°,如果正多边形的边数分别为n1、n2、n3,且每一个顶点处一种正多边形只有一个,则根据平面镶嵌的条件,必须有:
(n1-2) ×180 °
n1
+
+
=360°
(n2-2) ×180 °
n2
(n3-2) ×180 °
n3
n1-2
n1
+
+
=360°
×180 °
(
)
n3-2
n3
n2-2
n2
1
n1
+
+
=2
(
)
3-2
1
n2
1
n3
∴
1
2
1
n1
+
+
=
1
n2
1
n3
∴
∴
上式的正整数解见下表:
N0
n1
n2
n3
1
3
7
42
2
3
8
24
3
3
9
18
4
3
10
15
5
3
12
12
6
4
5
20
7
4
6
12
8
4
8
8
9
5
5
10
10
5
6
6
此镶嵌为表中一例