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等比数列(一)
一、知识目标:
1、正确理解等比数列的定义,明确一个数列是等比数列的限定条件。
2、学会推导等比数列通项公式的方法和通项公式的简单应用。
学****的重点:
等比数列定义的理解和等比数列通项公式的推导。
学****的难点:
等比数列通项公式的推导方法。
二、能力任务:
培养自己观察、类比、归纳、猜想的思维品质。
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学****任务
一、等比数列的定义
二、等比数列通项公式的推导及通项公式的简单应用。
观察下面的数列,请把它们分为等差和等比数列两类:
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③243,81,27,9,3,1, , ,…
④31,29,27,25,23,21,19,…
⑤1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑥1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
等差数列:
等比数列:
②
①
③
④
⑤
⑥
⊙思考:这些等比数列有什么共同的性质?
答:从第二项起,每一项与它的前一项的比为同一个常数。
⊙思考:根据等比数列的共同性质,假设从第二项起,任意一项为an,则它的前一项为: ,an与它的关系式为:
an-1
看看下面两个数列是什么数列?都是等差或等比数列吗?(说明理由)
⑦2,2,2,2,2,2,…⑧0,0,0,0,0,0,0,…
答:⑦既是等差又是等比数列,⑧是等差但不是等比数列,因为②每项都为0,则从第二项起,每一项与它的前一项比无意义(分母不能为0)。
常数叫做”公比”,用字母”q”表示.
帮你小结等比数列的定义
等差数列
等比数列
定义:
一般地,如果从第2起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
项与公差或公比的限定:
无
递推公式:
一般地,如果从第2起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数。
帮你解题(一)
1、说出预****练****中等比数列②③⑤⑥⑦中每一个数列的首项a1和公比q.
答:②中的a1=8,q=2.
③中的a1=243,q=1/3.
⑥中的a1=1,q=-10.
⑦中的a1=2,q=1.
⑤中的a1=1,q=-1.
2、数列:m,m,m,m,…。这个数列是不是等比数列?
答:当m≠0时,是一个等比数列,当m=0时,不是一个等比数列,(因为等比数列的首项和公差不能为0。)
3、判断:凡是满足每一项与前一项的比为同一个常数的所有的项就构成一个等比数列……( )
〤
通项公式的推导
方法一:已知数列{an},公比为q(q≠0).
a1=a1·q0=a1·q1-1……①
根据定义可知:
∵a2/a1=q ∴a2=a1·q=a1·q2-1…………②
∵a3/a2=q ∴a3=a2·q=a1·q2=a1·q3-1③
∵a4/a3=q ∴a4=a3·q=a1·q3=a1·q4-1④
……
按此规律可得
an=a1qn-1(a1≠0且q≠0)
不完全归纳法(猜想)
通项公式的推导
方法二.
由定义可知:
观察左式,可以把每一个等式的左边相乘,右边也相乘,等式还成立。
n-1个等式
n-1个q
叠乘法
帮你解题(二)
:
(1)5 ,-15, 45 ,……
解:方法一:
由上面数列可知:a1=5,q=(-15)/5=-3.
∴此数列的通项公式为:an=a1qn-1=5ⅹ(-3)n-1
∴a4=5ⅹ(-3)4-1=-135,a a5=5ⅹ(-3)5-1=405
∴此数列的第4项和第5项分别为:-135,405.
方法二:
由上面数列可知: a3=45,q=-15/5=-3
由等比数列定义可得:a4=a3•q=45ⅹ(-3)=-135
同理得: a5=a4•q=(-135)ⅹ(-3)=405
∴此数列的第4项和第5项分别为:-135,405.
第(2)小题的答案为:a4=9/32,a5=27/128.
第(3)小题的答案为: