文档介绍：常用的巧算和速算方法
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯(德国)小时候就做过的“百数求和”题,可以计算为
1 + 2 + …… + 99 + 100
所以,1+2+3+4+……+99+100
=101×100÷2
=5050。
“3+5+7+………+97+99=?
3+5+7+……+97+99=(99+3)×49÷2= 2499。
这种算法的思路,见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题:
“今有女子不善织,日减功,迟。初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。问织几何?”
题目的意思是:有位妇女不善于织布,她每天织的布都比上一天减少一些,并且减少的数量都相等。她第一天织了5 尺布,最后一天织了1 尺,一共织了30 天。问她一共织了多少布?
张丘建在《算经》上给出的解法是:
“并初末日织尺数,半之,余以乘织讫日数,即得。”“答曰:二匹一丈”。
这一解法,用现代的算式表达,就是
1 匹=4 丈,1 丈=10 尺,
90 尺=9 丈=2 匹1 丈。(答略)
张丘建这一解法的思路,据推测为:如果把这妇女从第一天直到第30 天所织的布都加起来,算式就是
5+…………+1
在这一算式中,每一个往后加的加数,都会比它前一个紧挨着它的加数,要递减一个相同的数,而这一递减的数不会是个整数。若把这个式子反过来,则算式便是
1+………………+5
此时,每一个往后的加数,就都会比它前一个紧挨着它的加数,要递增一个相同的数。同样,这一递增的相同的数,也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加,并在相加时,利用“对应的数相加和会相等”
这一特点,那么,就会出现下面的式子:
所以,加得的结果是6×30=180(尺)
但这妇女用30 天织的布没有180 尺,而只有180 尺布的一半。所以,这妇女30 天织的布是
180÷2=90(尺)
可见,这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
【分组计算】一些看似很难计算的题目,采用“分组计算”的方法,往往可以使它很快地解答出来。
例如:
求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和。
这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”,而不是“10 亿个自然数之和”。
什么是“数字之和”?例如,求1 到12 这12 个自然数的数字之和,算式是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+1+2=5l。
显然,10 亿个自然数的数字之和,如果一个一个地相加,那是极麻烦,也极费时间(很多年都难于算出结果)的。怎么办呢?我们不妨在这10 亿个自然数的前面添上一个“0”,改变数字的个数,但不会改变计算的结果。然后,将它们分组:
0 和999,999,999;1 和999,999,998;
2 和999,999,997;3 和999,999,996;
4 和999,999,995;5 和999,999, 994;
………………
依次类推,可知除最后一个数,1,000,000,000 以外,其他的自然数与添上的0 共10 亿个数,共可以分为5 亿组,各组数字之和都是81,如
0+9+9+9+9+9+9+9+9+9=81
1+9+9+9+9+9+9+9+9+8=81
………………
最后的一个数1,000,000,000 不成对,它的数字之和是1。所以,此题的计算结果是
(81×500,000,000)+1
=40,500,000,000+1
=40,500,000,001
【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法,也是一种速算、巧算技巧。
遇到有些题数目多,关系复杂时,我们可以从数目较小的特殊情况入手,研究题目特点,找出一般规律,再推出题目的结果。例如:
(1)计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100×100”的大方阵,数目很多,关系较为复杂。不妨先化大为小,再由小推大。先观察“5×5”的方阵,如下图()所示。
容易看到,对角线上五个“5”之和为25。
这时,如果将对角线下面的部分(右下部分)用剪刀剪开, 那样拼接,那么将会发现,这五个斜行,每行数之和都是25。所以,“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125,即53=125。
于是,很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1,000,000。
(2)把自然数中的偶数, 那样排成五列。最左边的叫第一列,按从左到右的顺序,其他叫第二、第三……第五列。那么2002 出现在哪一列:
因为从2 到2002,共有偶数2002÷2=1001(个)。从前到后,是每8 个偶数为一组,每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列,