文档介绍：每日一题规范练(第四周)
[题目1] (本小题满分12分)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.(导学号 55410158)
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
解:(1)因为f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,且T=π,
所以ω=2,于是f(x)=sin.
令2x-=kπ+,k∈Z,
得x=+(k∈Z),
故函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z.
由x∈,取k=0,得x∈,
所以f(x)在上的单调增区间为.
由2kπ+<2x-≤2kπ+π,
且x∈,
取k=0,得x∈,
所以f(x)在上的单调减区间是.
[题目2] (本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列,a10=4a3,a4=3a1+7.
(1)求通项公式an;
(2)若bn=an-2an+2,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,
依题意得解得
所以an=a1+(n-1)d=3n-2(n∈N*).
(2)bn=an-2an+2=3n-2-23n=3n-2-8n,
Sn=b1+b2+…+bn
=(1+4+7+…+3n-2)-(81+82+…+8n)
=-(1-8n)
=+(1-8n).
[题目3] (本小题满分12分)在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在[40,100],
分数在80以上(含80)、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
文理科
是否获奖
文科生
理科生
总计
获奖
5
不获奖
总计
(1)求a的值,并计算所抽取样本的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写题中的2×2列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”?
解:(1)a=[1-(++++)×10]÷10=,
x=45×+55×+65×+75×+85×+95×=69.
(2)文科生人数为200×=50,获奖学生人数为200×(+)=40,故2×2列联表如下:
文理科
是否获奖
文科生
理科生
总计
获奖
5
35
40[来源:]
不获奖
45
115
160
总计
50
150[来源:学科网]
200
因此K2==≈>.
所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”.
[题目4] (本小题满分12分)如图,四棱锥P­ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M为AD的中点,N为PC上一点,且PC=3PN.
(1)求证:MN∥平面PAB;
(2)求点M到平面PAN的距离.
(1)证明:在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H,连接AH,
在△PBC中,NH∥BC,且NH=BC=1,AM=AD=1.
又A