文档介绍：《关于线性代数的论文》

姓名: 白月东
学号: 0
班级: 2012级网络普高
院系:计算机科学与技术学院
指导教师:包志华
分块矩阵的应用
摘要:矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象,在线性代数中占有非常重要的地位。分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数,使矩阵的结构更清晰明朗,从而使矩阵的相关计算简单化,而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文将分块矩阵运用于行列式运算、解线性方程组、求逆矩阵的问题以及特征值的问题的求解,还包括有关矩阵秩的证明和矩阵相似问题。
关键词:分块矩阵;行列式;矩阵的秩;逆矩阵;特征值.
绪论:
在已有的相关文献中,分块矩阵的一些应用如下:
(1)从行列式的性质出发,推导出分块矩阵的若干性质,并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用。
(2)借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用。
(3)利用分块矩阵求高阶行列式。如设、都是阶矩阵,其中,并且,则可求得。
(4)利用分块矩阵求解线性方程组。
分块矩阵有非常广泛的应用,本文将通过对分块矩阵性质的研究,比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用,从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利。

矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理。把矩阵分块运算有许多方便之处。
定义1 设是一个矩阵,若用若干横线条将它分成块,再用若干纵线条将他分成块,于是有块的分块矩阵,,其中表示的是一个矩阵。

设,,用同样的方法对进行分块
,,
其中,的级数相同,则。

设是任意数,定义分块矩阵与的数乘为

设分块为,其中是矩阵,是矩阵,定义分块矩阵和的乘积为
。

设分块为,定义分块矩阵的转置为

分块矩阵的下列三种变换称为初等行变换:
(1) 对调的两行(用表示对调、两行) ;
(2) 用一个可逆阵左乘的某一行的所有子矩阵(用表示用左乘第行) ;
(3) 将的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵再加到另一行的对应子矩阵上去(表示将第行左乘再加到第行)。
将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
分块矩阵在解线性方程组的应用
设个未知数个方程的线性方程组为:
(1),
设,(其中表示矩阵的转置),,则方程(1)的矩阵形式为。
把方程(1)的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式,其中
,,,
,,,
,,
,,
方程组(1)有解时,我们解方程组(1)时总是把(1)化成简单的同解方程组,从而求出其解。
(1)有解且,则方程组与同解。

(1)
求此方程组的解并证明此方程组和方程组
(2)
同解。
解:令,,其中
,,,,,
所以此方程组的齐次线性方程组的解为
,
又是方程组的一个特解,所以此方程组的解为