文档介绍：干摩擦的非线性动力学
Franz-Josef Elmer
瑞士巴塞尔,巴塞尔大学,物理学院 CH-4056
1996年11月5日收到来稿,1997年5月21日决定发表
摘要研究一个有牵引力的弹簧—木块系统以一个恒定的速度在一个表面上运动所受到的干摩擦动力学。一个很普遍且符合摩擦学现象规律的动力学推理正在研究中(此规律为:静止时受静摩擦力影响,运动速度受动摩擦力影响)。共有三种可能发生的运动:粘—滑运动、连续滑动、以及无粘性的振动。现在将要阐述地方以及全球的一些令人瞩目的人所提出的分歧观点以及他们的观点极其相似的不稳定观点。
库仑关于干摩擦的[l]定律被应用了200多年。他规定摩擦力等于由物体本身材料所决定的摩擦系数与正压力的乘积。静摩擦系数(静摩擦力是使物体由静止开始滑动的力)通常等于或大于动摩擦系数(动摩擦力是使物体以一个恒速度运动的力)。
一个机械系统受到的干摩擦力是非线性的,因为库仑定律把动摩擦力和静摩擦力区分开了。如果动摩擦系数小于静摩擦系数,在一个滑动并且粘住和滑动转化十分规则就如[l]所说的表面上,粘—滑运动就会发生。这种急变的运动发生在日常生活中的每一天,例如开关门和拉小提琴。
即使库仑定律是很简单并且很容易确定的(工程上一些计算都依据这些公式),它关于静摩擦产生的原因要求并不严格,因为静摩擦只是一个过程,它的作用不会涉及到平衡。因此不必为库仑定律经常应用于实验这个事实背离而让我们感到惊讶。典型的背离例子是下面所列出的:(i)静摩擦力是变化的而且是随着静止时间的延续而逐渐增加的[2,3],即两个相接触的滑行表面而没有发生相对运动。(ii)动摩擦力决定于滑动速度;对于一个很大的速度,它可以近似地看作是线性地增加,这个速度就像是在粘性摩擦力场那样。在达到很大速度之前,摩擦力首先减小,直到减小到最小值,然后再继续增大[3,4]。在有润滑油的临界条件下(即是在滑动的表面有极少的起润滑作用的单分子层存在)摩擦力将以一个很小的速度再次减小(见图1)[5,6]。动摩擦系数作为影响滑动速度的因素,至少有一个极值。动摩擦力可能大于静摩擦力,但是在物体将要滑动的瞬间,动摩擦力始终是小于或等于静摩擦力的。
本文的目的是针对非线性动力学中在某一个程度上狭隘的诸如上面提到的干摩擦定律提出一个自由的论点。本文将抛开在著作[1,3,4,6-9]中已提出的明确的定律。关于摩擦力的现象学的定律只是在肉眼所见的程度内,这就意味着用显微镜可见的精微的程度将远远超过肉眼可见的程度。在本文的结束语中将要给出一个为什么这种假设总不是有效的简单论点。要去揭示这种宏观现象的无根据性,因此去了解这种时空分离的假设下的完整的动力学知识是很重要的。
图1 (a)图为典型的速度影响的动摩擦定律的示意性草图
(b)图为有润滑油的临界条件下的系统

图2 干摩擦谐波振荡器
对于不同的干摩擦定律有两个很重要的众所周知地前提。(i)摩擦系数只能在仪器内部测量(比如表面力测量仪[10]或摩擦力显微镜[11])。下面我们将会发现系统的运动状态主要受摩擦力和仪器影响。例如粘—滑运动状态就比变化速度作用下的状态难于直接得出动摩擦系数。因此,测量仪器的影响是不能忽略掉的。(ii)在粒状材料中干摩擦也是一个重要的物理量[12]。一些相互作用的双尺是否合力作用的展开话题将久远地影响库仑动力学定律的修改。
在两个滑动表面的机械环境下(比如仪器)肉眼可见的自由程度很大。最重要的一个是侧面的。这里仅讨论在单一程度范围内描述的具体系统。图2明确地说明了仪器的构成。谐波振荡器是这样组成的:一个木块(质量为M)由一个弹簧(倔强系数为k)与一个固定施力系统连接(见图2)。木块与一个以恒定速度v0滑动的表面接触。木块和滑动表面之间的交互作用是静止时的静摩擦力和运动时的动摩擦力FK(v)的合力。在列写运动状态方程时,我们必须区分木块是处于粘住状态还是滑动状态。如果它处于粘住状态,它的位移x将随时间线性地增加,直到弹簧的弹力大于静摩擦力。
因此(1a)
当时木块在前一次滑动后再一次回到原状态。
如果木块滑动,运动方程为
(1b)
如果,sign(x)表示x的坐标。
我们的研究将以库仑定律关于持续静和动摩擦的研究为基础。当时,系统的状态就像一个干燥的谐波振荡器在平衡位置附近以这么大的位移振荡。因而,有很多解决振动的方法。在下面我们将要看到一些在速度影响下的动摩擦情况下依然存在的方法。木块的平衡位置在
,它被称为连续变化状态。
每一个具有能够使振动的最大速度大于v0的初始状态都将导致在一个有限时间内实现粘—滑状态的转变。而滑动状态是不受初始状态影响的,将以开始运动。然而,粘—滑系统定义了一个具有说服力的相位周期变化的规律。这和系统的状态像干燥的谐波振荡器的系