文档介绍：第八章函数
主要内容
函数的定义与性质
函数定义
函数性质
函数运算
函数的逆
函数的合成
双射函数与集合的基数
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函数的定义与性质
主要内容
函数定义与相关概念
函数定义
函数相等
从A到B的函数f:AB
BA
函数的像与完全原像
函数的性质
单射、满射、双射函数的定义与实例
构造双射函数
某些重要的函数
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函数定义
设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一的
y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数
对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.
例 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
 F2={<x1,y1>,<x1,y2>}
F1是函数, F2不是函数
设F, G 为函数, 则F=G  FG∧GF
如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件:
(1) domF=domG
(2) x∈domF=domG 都有F(x)=G(x)
函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG.
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从A到B的函数
设A, B为集合, 如果
f 为函数, domf=A, ranfB,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f:A→B.
例 f:N→N, f(x)=2x 是从N到N的函数,
g:N→N, g(x)=2 也是从N到N的函数.
所有从A到B的函数的集合记作BA, 符号化表示为
 BA = { f | f:A→B }
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm
A=, 则BA=B={}
A≠且B=, 则BA=A= 
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实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA.
解BA={ f0, f1, …, f7}, 其中
 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
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函数的像和完全原像
设函数 f:A→B, A1A, B1B
(1) A1在 f 下的像 f(A1) = { f(x) | x∈A1}, 函数的像 f(A)
(2) B1在 f 下的完全原像 f 1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}
注意:
函数值与像的区别:函数值 f(x)∈B, 像f(A1)B
一般说来 f 1(f(A1))≠A1, 但是A1f 1(f(A1))
例设 f:N→N, 且
令A={0,1}, B={2}, 那么有
f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2} f 1(B) = f 1({2})={1,4}
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函数的性质
设 f:A→B,
(1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B是满射的
(2) 若y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f:A→B
是单射的
(3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的, 则称 f:A→B是双射的
例2 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么?
(1) f:R→R, f(x) = x2+2x1
(2) f:Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集
(3) f:R→Z, f(x) = x
(4) f:R→R, f(x)=2x+1
(5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.
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例题解答
解
(1) f:R→R, f(x)=x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的
(2) f:Z+→R, f(x)=lnx
是单调上升的, 是单射的. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}.
(3) f:R→Z, f(x)= x
是满射的, 但不是单射的, 例如f()=f()=1
(4) f:R→R, f(x)=2x+1
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R
(5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x
有极小值 f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的
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实例
例3 对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
(1)