文档介绍：数列递推公式总结
类型(一)
第1类:递推公式为及
例1. ①已知满足,且,则=_______.
②已知满足,且,则=_______.
第2类:逐差求和
例2. 已知中,,,求。
练习题:已知,,求的通项公式。
类型3. 第3类逐商求积
例3 在数列中,,,求。
练习:已知, ,求。
类型第4类构造等比数列
例4 ,,且,有。求。
练习:①数列,,。求。
②满足中,,,求=_________.
第5类:
思路:两边同除
令
回归到第4类。
例5. 中,,,求。
练习:中,,,求。
第6类:因式分解及倒数法
例6 <1>. 是首项为1的正项数列。,则=________.
<2>. 首项,,求=________.
练习:①已知,,则=________.
②满足,且,求。(难)
第二大类:已知,求。
类型1. 已知,求。
例7. ①,求=_________.
②已知,求=_________.
注意:利用,推导时,
n=1时,适合则统一
n=1 不适合分开写,
类型2. ,求。
技巧:①与一次关系,换。
②与二次关系,换。
例8.<1>在数列中,已知,求。
<2>在数列中,已知,,求。
类型3. 周期型,函数型。
例9 ①中,,,求=________.
②,求和__________.
习题:1. 已知数列满足,且,求=_________.
2. 已知,,求=_________.
3. 已知,,求=_________.
4. 首项为3,公差为d=2的等差数列,为前k项之和。求。
5.,求。
, (此处不知是题还是答案,有疑问)
专题:数列的求和
一、公式常见数列的求和公式
1. 等差数列的前n项和公式:
2. 等差数列的前n项和公式:
①当时, ;②当时,
3. 正整数列前n项和公式:。
4. 正奇数列前n项和公式:。
5. 的前n项和公式:。
6. 的前n项和公式:。
二、一般数列求和常用方法
(一)分组求和法
例1. 数列的通项,求前n项和。
[练习一]1. 求和。
。
,1+2,1+2+3,…….,1+2+3+…+n 前n项和。
(二)裂项求和法
例2. 已知:它的前n项和。
[练习二],求。
(三)错项相减法
例3. 求和
[练习三]求和。
(四)倒序相加(乘)法
例4. 设,求和的值。
例5. 已知a , b为不相等的两个正数,若在a , b之间插入n个正数,使它们构成以a为首项,b为末项的等比数列,求插入的这n个正数的积。
(五)并项求和法
例6. 求的值。
练习:求-1,4,-7,10,…,…的前n项和。
等差、等比数列
一、等差数列
1. 定义:若,则是等差数列;
若,则是等差数列;
2. 通项公式:,,
从函数角度来看,是关于n的一次函数()或常数函数(),它的图像是一条射线上的一群间距相等的点,其中d是该射线所在的直线的斜率,故
3. 等差中项。
(1)如果a, A, b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,即或;
(2)等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系:;还可推广为:若,则。
4. 等差数列的前n项和公式:,
当时,;其中若,则;若,则是n的一次函数;
当时,是关于n的不含常数项的二次函数,可表示为
由二次函数性质知,当时,有最小值;当时,有最大值。
①若,,则数列的前面若干项,所以将这些项相加即得的最小值;
②若,,则数列的前面若干项,所以将这些项相加即得的最大值;
③特别地,若,,则是的最小值;
若,,则是的最大值;
5. 性质
(1)时,数列为常数列;时,数列为递增数列;时,数列为递减数列。
(2)。
(3)若,则;
特别地,当时;。
(4)序号成等差数列的项仍成等差数列;
(5)有穷等差数列中,与首末两项距离的两项和相等,并且等于首末两项之和;特别地,若项数为奇数,还等于中间项的2倍。
即;若项数为奇数时,。
(6)若数列与均成等差数列,则仍成等差数列,其中m,n为常数。(7)是等差数列,, , ,则,,是公差为的等差数列,有
(8)若项数为2n,则
=
若项数为2n-1,则
;
(9)如果等差数列与的前n项和分别为和,则
6. 判定等差数列的几种方法:
①定义法:;
②等差中项法:;
③通项公式法:;