文档介绍：十一放假期间练习题
第一天
过抛物线y2=2px(P>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程。
2、已知点,点Q是椭圆上的动点,M为线段PQ上一点,且满足,求点M的轨迹方程.
解:设点,点,则由
得
于是
将上式代入椭圆方程得,
化简得M点轨迹方程为.
第二天
1、人造地球卫星运行轨迹是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面p千米,远地点距地面q千米,若地球的半径为r千米,求这个运行轨道的短轴长。
答案:
2.(本小题满分14分)
如图,O为坐标原点,直线在轴和轴上的截距分别是和,且交抛物线于、两点.
(1)写出直线的截距式方程;
(2)证明:;
(3)当时,求的大小.
(Ⅰ)解:直线l的截距式方程为①
(Ⅱ)证明:由①及y2=2px消去x可得
②
点M,N的纵坐标y1, y2为②的两个根,故
(Ⅲ)解:设OM,ON的斜率分别为k1,k2,
第三天
1、已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,直线过焦点与长轴的夹角为,且与椭圆C相交于A、B两点,|AB|=,点P是椭圆上的动点,,且的最大值为90°,求椭圆C的方程。
答案:用待定系数法,可求得
2、设F是抛物线G::x2=4y的焦点.
(Ⅰ)过点P(0,−4)作抛物线G的切线,求切线方程:
(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足,
延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最小值.
本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、.
解:(I)切线方程为y=±2x−4.
(II)设A (x1,y1),C (x2,y2).
由题意知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k>0.
因直线AC过焦点F(0,1),所以直线AC的方程为y=kx+1.
点A,C的坐标满足方程组得,
由根与系数的关系知
.
因为AC^BD,所以BD的斜率为,从而的方程为.
同理可求得.
.
当k=1时,,四边形ABCD面积的最小值为32.
第四天
(2010安徽文)椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
(本小题满分12分)本题考查椭圆的定义,椭圆的标准方程及其椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识,考查解析几何的基本思想和综合运算能力.
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,
由,即,,得.
∴椭圆方程具有形式. 将代入上式,得,解得,
∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以直线的方程为:,:.由椭圆上的图形知,的角平分线所在直线的斜率为正数.
设为的角平分线所在直线的上任一点,则有.
若,得(因其斜率为负,舍去).
于是,由,得.
2、过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.
解:由已知,直线AB有斜率,所以可设直线AB方程为.
联立得.
设,,,
则,.
在中消去k即得点M的轨迹方程.