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数
学
第六章图形的性质(二)
第25讲直线与圆的位置关系
要点梳理
1
.
直线和圆的位置关系
(1)
设
r
是
⊙
O
的半径
,
d
是圆心
O
到直线
l
的距离
直线和
圆的位置
图形
公共
点个
数
圆心到直线的
距离
d
与半
径
r
的关系
公共点
名称
直线
名称
相交
2
d
<
r
交点
割
线
相切
1
d
=
r
切点
切线
相离
0
d
>
r
无
无
要点梳理
(2)切线的性质:
①切线的性质定理:圆的切线经过切点的半径.
②推论1:经过切点且垂直于切线的直线必经过.
③推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过.
垂直于
圆心
切点
要点梳理
(3)切线的判定定理:经过半径的外端并且这条半径的直线是圆的切线.
(4)三角形的内切圆:和三角形三边都的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是
,内切圆的圆心叫做三角形的,内切圆的半径是内心到三边的距离,且在三角形内部.
垂直于
相切
三角形三条角平分线的交点
内心
要点梳理
两种方法:
欲证直线为圆的切线时:
(1)若知道直线和圆有公共点时,常连接公共点和圆心,证明直线垂直半径;
(2)不知道直线和圆有公共点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径.
两个防范:
(1)直线和圆有一个公共点,则直线与圆相切.
分析:直线和圆有一个公共点,不排除还有另一个公共点.
正确说法:直线和圆有且只有一个公共点,则直线与圆相切.
(2)圆的切线垂直于圆的半径.
分析:圆的半径有无数条,切线垂直于哪条半径呢?
正确说法:圆的切线垂直于过切点的半径.
一种分类思想
圆是一种极为重要的几何图形,由于图形位置、形状及大小的不确定,,解决这类问题,一定要仔细分析,缜密思考,分类讨论,逐一解答,切忌因思维定势或考虑不周而造成漏解.
(1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论;
(2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论;
(3)由于弦的位置不确定而分类讨论;
(4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论.