文档介绍：圆锥曲线方程专题
圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整。
圆锥曲线方程中参数的取值范围问题(需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域)
1、已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点,若另一条直线l经过点P(-2,0)及线段AB的中点Q,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
解:设A(x1,y1),B(x2,y2).由,得(1-k2)x2+2kx-2=0,
又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点,故有
解得-<k<-1,
2、已知A、B、C三点在曲线y=上,其横坐标依次为1,m,4(1<m<4),当△ABC的面积最大时,m等于( )
B. C. D.
解析:由题意知A(1,1),B(m,),C(4,2)。直线AC所在方程为x-3y+2=0,点B到该直线的距离为d=.
∵m∈(1,4),∴当时,S△ABC有最大值,此时m=.答案:B
3、已知抛物线y=x2-1上一定点B(-1,0)和两个动点P、Q,当P在抛物线上运动时,BP⊥PQ,则Q点的横坐标的取值范围是_________.
解析:设P(t,t2-1),Q(s,s2-1),∵BP⊥PQ,∴=-1,,即t2+(s-1)t-s+1=0,
∵t∈R,∴必须有Δ=(s-1)2+4(s-1)≥+2s-3≥0,解得s≤-3或s≥1。答案:(-∞,-3∪1,+∞)。
二、圆锥曲线中最值问题。(解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值)
1、设u,v∈R,且|u|≤,v>0,则(u-v)2+()2的最小值为( )
解析:考虑式子的几何意义,转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=:C
2、如图,已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||
(1)求f(m)的解析式;
(2)求f(m)的最值.
命题意图:本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.
知识依托:直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值.
错解分析:在第(1)问中,要注意验证当2≤m≤5时,直线与椭圆恒有交点.
技巧与方法:第(1)问中,若注意到xA,xD为一对相反数,则可迅速将||AB|-|CD||(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法.
解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1
∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).
故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.
∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)
考虑方程组,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)
整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0,Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2
∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,xB+xC=.
又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上
∴|AB|=|xB-xA|==(xB-xA)·,|CD|=(xD-xC)
∴||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=|(xB+xC)-(xA+xD)|
又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0,∴||AB|-|CD||=|xB+xC|·=||·= (2≤m≤5)
故f(m)=,m∈[2,5].
(2)由f(m)=,可知f(m)= ,又2-≤2-≤2-,∴f(m)∈[]。
故f(m)的最大值为,此时m=2;f(m)的最小值为,此时m=5.
三、圆锥曲线中关于求离心率的问题。(我们以一道题为例,求圆锥曲线方程的离心率范围的各种方法)
经典例题:双曲线的两个焦点为,若为其上一点,
且,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
解法一:利用三角形正余弦定理
如图,设,,当在右顶点处时,∵,∴,选B
解法二:利用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意可以取到等号成立,因为可以三点一线.
设,