文档介绍：第七章不等式
§ 不等关系与不等式
知识要点
:
定理1:如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b.(对称性)
即:a>bb<a;b<aa>b
定理2:如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性)
即a>b,b>ca>c
定理3:如果a>b,那么a+c>b+c.
即a>ba+c>b+c
推论:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.(相加法则)
即a>b, c>d a+c>b+d.
定理4:如果a>b,且c>0,那么ac>bc;
如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
推论1 如果a>b >0,且c>d>0,那么ac>bd.(相乘法则)
推论2 若
定理5 若
1).重要不等式:
如果
2).定理:如果a,b是正数,那么
3)公式的等价变形:ab≤,ab≤()2
4). ≥2(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号;
5).定理:如果,那么(当且仅当时取“=”)
6).推论:如果,那么(当且仅当时取“=”)
7).比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与1的关系——结论
8).综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法
用综合法证明不等式的逻辑关系是:
9)分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法叫做分析法
用分析法证明不等式的逻辑关系是:
10)三角换元:
若0≤x≤1,则可令x = sinq ()或x = sin2q ()
若,则可令x = cosq , y = sinq ()
若,则可令x = secq, y = tanq ()
若x≥1,则可令x = secq ()
若xÎR,则可令x = tanq ()
11)代数换元:“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法
12).放缩法:
常用的放缩技巧有:
13).反证法:
课前基础演练
,那么的大小关系是.
,则的大小关系是.
,那的大小关系是.
=2-,=-2,=5-2,则,,的大小关系为.
:、满足,乙:、满足,那么甲是乙的条件.
典例归纳
例1 (1)设,试比较与的大小;
(2)已知,且,当,时比较与的大小.
例2 已知是任意的实数,且,则下列不等式恒成立的是.
①②
③④
例3 已知且,求的取值范围.
巩固训练
1.(1)比较与的大小,其中;
(2)设,且,试比较与的大小.
:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,则;
(4)若,,则;
(5)若,则.
,,,求的取值范围.
作业
一、填空题
,则下列不等式中恒成立的是(填序号).
①②③④
2.(2009·姜堰中学高三第四次综合练****已知存在实数满足,则实数的取值范围为.
3.(2009·苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式:,, (其中均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为个.
,设,则,,的大小关系为.
,且,则①;②;③;④
其中不成立的有个.
,则与的大小关系是.
:
①若,则>;
②若,则>;
③若,则>;
④设是互不相等的正数,则.
其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)
二、解答题
(为不相等的正数)的大小.
,且,, .试说明的值与的关系.
000元的资金购买单价分别为80元、,软件至少买3片,磁盘至少买4盒,写出满足上述所有不等关系的不等式.
,,.试比较的大小.
§ 一元二次不等式及其解法
知识要点
1、解一元一次不等式、一元二次不等式
1)一元一次不等式ax+b>0
(1)若a>0时,则其解集为{x|x>-}
(2)若a<0时,则其解集为{x|x<-}
(3)若a=0时,b>0,其解集为Rb≤0,其解集为
2)一元二次不等式>0(a≠0)
任何一个一元二次不等式,最后都可化为: >0或<0(a>0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的