文档介绍：该【2025年人教全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总附答案 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【19】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2025年人教全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总附答案 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.(1)如图1,在矩形ABCD中,点O在边AB上,∠AOC=∠BOD,求证:AO=OB;(2)如图2,AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,OP与⊙O相交于点C,连接CB,∠OPA=40°,求∠ABC的度数.【答案】(1)证明见解析;(2)25°.【解析】试题分析:(1)根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC,根据矩形的对边相等,每个角都是直角,可知∠A=∠B=90°,AD=BC,根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC,从而得证结论.(2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数,然后利用圆周角定理来求∠:(1)∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC-∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=90°,AD=BC∴?AOD??BOC∴AO=OB(2)解:∵AB是O的直径,PA与O相切于点A,∴PA⊥AB,∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°,∴∠AOP=50°,∵OB=OC,∴∠B=∠∵∠AOP=∠B+∠OCB,1∴?B??OCB??AOP?25?.,将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB,点A的运动轨迹为AB,P是半径OB上一动点,Q是AB上的一动点,:∠POQ=________时,PQ有最大值,最大值为________;:..吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》思考:(1)如图2,若P是OB中点,且QP⊥OB于点P,求BQ的长;(2)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠,使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上,求阴影部分面积;探究:如图4,将扇形OAB沿PQ折叠,使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切,切点为C,若OP=6,【答案】发现:90°,102;思考:(1)??;(2)25π?1002+100;(3)点O3到折痕PQ的距离为30.【解析】分析:发现:先判断出当PQ取最大时,点Q与点A重合,点P与点B重合,即可得出结论;思考:(1)先判断出∠POQ=60°,最后用弧长用弧长公式即可得出结论;(2)先在Rt△B'OP中,OP2+(102?10)2=(10-OP)2,解得OP=102?10,:先找点O关于PQ的对称点O′,连接OO′、O′B、O′C、O′P,证明四边形OCO′B是矩1形,由勾股定理求O′B,从而求出OO′的长,则OM=OO′=:发现:∵P是半径OB上一动点,Q是AB上的一动点,∴当PQ取最大时,点Q与点A重合,点P与点B重合,此时,∠POQ=90°,PQ=OA2?OB2=102;思考:(1)如图,连接OQ,∵点P是OB的中点,11∴OP=OB=∵QP⊥OB,∴∠OPQ=90°OP1在Rt△OPQ中,cos∠QOP=?,OQ2:..百学须先立志。——朱熹∴∠QOP=60°,60??1010∴l=??;BQ1803(2)由折叠的性质可得,BP=B′P,AB′=AB=102,在Rt△B'OP中,OP2+(102?10)2=(10-OP)2解得OP=102?10,90??1021S=S-2S=?2??10?(102?10)阴影扇形AOB△AOP3602=25π?1002+100;探究:如图2,找点O关于PQ的对称点O′,连接OO′、O′B、O′C、O′P,则OM=O′M,OO′⊥PQ,O′P=OP=3,点O′是B?Q所在圆的圆心,∴O′C=OB=10,∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点,∴O′C⊥AO,∴O′C∥OB,∴四边形OCO′B是矩形,在Rt△O′BP中,O′B=62?42?25,在Rt△OBO′K,OO′=102?(25)2=230,11∴OM=OO′=×230=30,:本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定,熟练掌握弧长公式n?Rl=(n为圆心角度数,R为圆半径),明确过圆的切线垂直于过切点的半径,这是常180考的性质;,以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O,交对角线AC于点E.(1)图1中,线段AE=;(2)如图2,在图1的基础上,以点A为端点作∠DAM=30°,交CD于点M,沿AM将四边形ABCM剪掉,使Rt△ADM绕点A逆时针旋转(如图3),设旋转角为α(0°<α<150°),在旋转过程中AD与⊙O交于点F.:..老当益壮,宁移白首之心;穷且益坚,不坠青云之志。——唐·王勃①当α=30°时,请求出线段AF的长;②当α=60°时,求出线段AF的长;判断此时DM与⊙O的位置关系,并说明理由;③当α=°时,DM与⊙O相切.【答案】(1)2(2)①2②2,相离③当α=90°时,DM与⊙O相切【解析】(1)连接BE,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠BAC=45°,∴△AEB是等腰直角三角形,又∵AB=8,∴AE=4;(2)①连接OA、OF,由题意得,∠NAD=30°,∠DAM=30°,故可得∠OAM=30°,∠DAM=30°,则∠OAF=60°,又∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∵OA=4,∴AF=OA=4;②连接B'F,此时∠NAD=60°,∵AB'=8,∠DAM=30°,∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4;此时DM与⊙O的位置关系是相离;:..志不强者智不达,言不信者行不果。——墨翟③∵AD=8,直径的长度相等,∴当DM与⊙O相切时,点D在⊙O上,故此时可得α=∠NAD=90°.点睛:此题属于圆的综合题,主要是仔细观察每一次旋转后的图形,根据含30°角的直角三角形进行计算,另外在解答最后一问时,关键是判断出点D的位置,,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,D、E分别为边AB、BC的中点,连结DE,点P从点A出发,沿折线AD﹣DE运动,到点E停止,点P在AD上以5cm/s的速度运动,在DE上以1cm/s的速度运动,过点P作PQ⊥AC于点Q,(s).(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为_____cm.(用含t的代数式表示)(2)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.(3)如图2,若点O在线段BC上,且CO=1,以点O为圆心,1cm长为半径作圆,当点P开始运动时,⊙,当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时,【答案】(1)t﹣1;(2)S=﹣t2+3t+3(1<t<4);(3)t=:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》【解析】分析:(1)根据勾股定理求出AB,根据D为AB中点,求出AD,根据点P在AD上的速度,即可求出点P在AD段的运动时间,再求出点P在DP段的运动时间,最后根据DE段运动速度为1cm/s,即可求出DP;(2)由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形,可知点P在DE上,求出DP=t﹣1,PQ=3,根据MN∥BC,求出FN的长,从而得到FM的长,再根据S=S+S梯形FMHD矩形,列出S与t的函数关系式即可;DHQP(3)当圆与边PQ相切时,可求得r=PE=5﹣t,,r=1+,然后列方程求解即可;当圆与MN相切时,r=CM=8﹣t=1+,:(1)由勾股定理可知:AB=AC2?BC2=10.∵D、E分别为AB和BC的中点,11∴DE=AC=4,AD=AB=5,225∴点P在AD上的运动时间==1s,当点P在线段DE上运动时,DP段的运动时间为(t﹣51)s.∵DE段运动速度为1cm/s,∴DP=(t﹣1)﹣1.(2)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,有一种情况,,重叠部分为五边形,∴3>t﹣1,t<4,DP>0,∴t﹣1>0,解得:t>1,∴1<t<∵△DFN∽△ABC,∴===.FNBC63∵DN=PN﹣PD,∴DN=3﹣(t﹣1)=4﹣t,4?t4(34?t)∴=,∴FN=,FN34(34?t)3t∴FM=3﹣=,44S=S+S,梯形FMHD矩形DHQP:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》13t3∴S=×(+3)×(4﹣t)+3(t﹣1)=﹣t2+3t+3(1<t<4).248(3)①当圆与边PQ相切时,如图:当圆与PQ相切时,r=PE,由(1)可知,PD=(t﹣1)cm,∴PE=DE﹣DP=4﹣(t﹣1)=(5﹣t)cm.∵,∴r=1+,10∴1+=5﹣t,解得:t=②当圆与MN相切时,r=(1)可知,DP=(t﹣1)cm,则PE=CQ=(5﹣t)cm,MQ=3cm,∴MC=MQ+CQ=5﹣t+3=(8﹣t)cm,35∴1+=8﹣t,解得:t=∵P到E点停止,∴t﹣1≤4,即t≤5,∴t=s(舍).610综上所述:当t=s时,⊙:本题主要考查的是圆的综合应用,解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质,直线和圆的位置关系,,正三角形ABC内接于⊙O,P是BC上的一点,且PB<PC,PA交BC于E,点F是PC延长线上的点,CF=PB,AB=13,PA=4.(1)求证:△ABP≌△ACF;:..长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。——李白(2)求证:AC2=PA?AE;(3)求PB和PC的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)PB=1,PC=3.【解析】试题分析:(1)先根据等边三角形的性质得到AB=AC,再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP,于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF;(2)先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°,再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°,加上∠CAE=∠PAC,于是可判断△ACE∽△APC,然后利用相似比即可得到结论;133(3)先利用AC2=PA?AE计算出AE=,则PE=AP-AE=,再证△APF为等边三角形,得44到PF=PA=4,则有PC+PB=4,接着证明△ABP∽△CEP,得到PB?PC=PE?A=3,然后根据根与系数的关系,可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的两实数解,:(1)∵∠ACP+∠ABP=180°,又∠ACP+∠ACF=180°,∴∠ABP=∠ACF在?ABP和?ACF中,∵AB=AC,∠ABP=∠ACF,CF?PB∴?ABP≌?ACF.(2)在?AEC和?ACP中,∵∠APC=∠ABC,而?ABC是等边三角形,故∠ACB=∠ABC=60o,∴∠ACE=∠∠CAE=∠PAC,∴?AEC∽?ACPACAE∴?,即AC2?PA?(1)知?ABP≌?ACF,∴∠BAP=∠CAF,CF?PB∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°,又∠APC=∠ABC=60°.∴?APF是等边三角形∴AP=PF:..其身正,不令而行;其身不正,虽令不从。——《论语》∴PB?PC?PC?CF?PF?PA?4在?PAB与?CEP中,∵∠BAP=∠ECP,又∠APB=∠EPC=60°,∴?PAB∽?CEPPBPA∴?,即PB?PC?PA?PEPEPC由(2)AC2?PA?AE,??∴AC2?PB?PC?PA?AE?PA?PE?PAAE?PE?PA2??∴AC2?PB?PC?PA?AE?PA?PE?PAAE?PE?PA2??2∴PB?PC?PA2?AC2?PA2?AB2?42?13?3因此PB和PC的长是方程x2?4x?3?,得x?1,x?∵PB<PB,∴PB=x?1,PC=x?3,12∴PB和PC的长分别是1和3。【点睛】本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和等边三角形的判定与性质;会利用相似三角形证明等积式;会运用根与系数的关系构造一元二次方程。:..乐民之乐者,民亦乐其乐;忧民之忧者,民亦忧其忧。——《孟子》,四边形ABCD为⊙O内接四边形,连接AC、CO、BO,点C为弧BD的中点.(1)求证:∠DAC=∠ACO+∠ABO;(2)如图2,点E在OC上,连接EB,延长CO交AB于点F,若∠DAB=∠OBA+∠:EF=EB;(3)在(2)的条件下,如图3,若OE+EB=AB,CE=2,AB=13,求AD的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AD=7.【解析】试题分析:(1)如图1中,连接OA,只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO,由点C是BD中点,推出CD?CB,推出∠BAC=∠DAC,即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO;(2)想办法证明∠EFB=∠EBF即可;(3)如图3中,过点O作OH⊥AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于G,作BN⊥CF于N,作CK⊥AD于K,∠⊥△EFB是等边三角形,再证明△ACK≌△ACT,Rt△DKC≌Rt△BTC,延长即可解决问题;试题解析:(1)如图1中,连接OA,∵OA=OC,∴∠1=∠ACO,∵OA=OB,∴∠2=∠ABO,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO,∵点C是BD中点,∴CD?CB,∴∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACO+∠ABO.(2)如图2中,∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB,∠COB=2∠BAC,∴∠BAD=∠BOC,∵∠DAB=∠OBA+∠EBA,∴∠BOC=∠OBA+∠EBA,∴∠EFB=∠EBF,∴EF=EB.:..去留无意,闲看庭前花开花落;宠辱不惊,漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》(3)如图3中,过点O作OH⊥AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于G,作BN⊥CF于N,作CK⊥AD于K,∠⊥AB于T.∵∠EBA+∠G=90°,∠CFB+∠HOF=90°,∵∠EFB=∠EBF,∴∠G=∠HOF,∵∠HOF=∠EOG,∴∠G=∠EOG,∴EG=EO,∵OH⊥AB,∴AB=2HB,∵OE+EB=AB,∴GE+EB=2HB,∴GB=2HB,HB1∴cos∠GBA=?,∴∠GBA=60°,GB2∴△EFB是等边三角形,设HF=a,∵∠FOH=30°,∴OF=2FH=2a,13∵AB=13,∴EF=EB=FB=FH+BH=a+,2131317∴OE=EF﹣OF=FB﹣OF=﹣a,OB=OC=OE+EC=﹣a+2=﹣a,2221113∵NE=EF=a+,22413113133∴ON=OE=EN=(﹣a)﹣(a+)=﹣a,22442∵BO2﹣ON2=EB2﹣EN2,1713313113∴(﹣a)2﹣(﹣a)2=(a+)2﹣(a+)2,2422243解得a=或﹣10(舍弃),2∴OE=5,EB=8,OB=7,∵∠K=∠ATC=90°,∠KAC=∠TAC,AC=AC,∴△ACK≌△ACT,∴CK=CT,AK=AT,:..长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。——李白∵CD?CB,∴DC=BC,∴Rt△DKC≌Rt△BTC,∴DK=BT,1∵FT=FC=5,∴DK=TB=FB﹣FT=3,∴AK=AT=AB﹣TB=10,∴AD=AK﹣DK=10﹣3=,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足若?,连DF3接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.(1)求证:△ADF∽△AED;(2)求FG的长;(3)求tan∠【答案】(1)证明见解析;(2)FG=2;(3).4【解析】分析:(1)由AB是O的直径,弦CD⊥AB,根据垂径定理可得:弧AD=弧AC,DG=CG,CF1继而证得△ADF∽△AED;(2)由?,CF=2,可求得DF的长,继而求得CG=DG=4,FD3则可求得FG=2;(3)由勾股定理可求得AG的长,即可求得tan∠ADF的值,继而求得5tan∠E=.4本题解析:①∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∴DG=CG,∴AD?AC,∠ADF=∠AED,∵∠FAD=∠DAE(公共角),∴△ADF∽△AED;CF1②∵?,CF=2,∴FD=6,∴CD=DF+CF=8,FD3∴CG=DG=4,∴FG=CG-CF=2;③∵AF=3,FG=2,∴AG=AF2?FG2?5,点睛:本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点,考查内容较多,综合性较强,难度适中,注意掌握数形结合的思想.:..穷则独善其身,达则兼善天下。——《孟子》,AB为O的直径,C、D为O上异于A、B的两点,连接CD,过点C作CE?DB,交CD的延长线于点E,垂足为点E,直径AB与CE的延长线相交于点F.(1)连接AC、AD,求证:?DAC??ACF?180?.(2)若?ABD?2?BDC.①求证:②当BD?6,tanF?时,【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②CF?.3【解析】【分析】(1)根据圆周角定理证得∠ADB=90°,即AD⊥BD,由CE⊥DB证得AD∥CF,根据平行线的性质即可证得结论;(2)①∠3=2∠1,由已知∠4=2∠1,得到∠4=∠3,则OC∥DB,再由CE⊥DB,得到OC⊥CF,根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线;BD34②由CF∥AD,证出∠BAD=∠F,得出tan∠BAD=tan∠F==,求出AD=BD=8,利AD43OC3用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=,5,再由tanF==,【详解】解:(1)AB是O的直径,且D为O上一点,??ADB?90?,CE?DB,??DEC?90?,?CF//AD,??DAC??ACF?180?.(2)①如图,?OC,??1??2.?3??1??2,??3?2?1.?4?2?BDC,?BDC??1,:..其身正,不令而行;其身不正,虽令不从。——《论语》??4?2?1,??4??3,?OC//?DB,?OC?,?CF为O的切线.②由(1)知CF//AD,??BAD??F,3?tan?BAD?tanF?,4BD3??.AD4BD?64?AD?BD?8,3?AB?62?82?10,OB?OC??CF,??OCF?90?,OC3?tanF??,CF420解得CF?.3【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)中,需要运用三角函数、:如图,四边形ABCD为菱形,△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D,交AC于点E.(1)判断⊙O与BC的位置关系,并说明理由;(2)若CE=2,求⊙O的半径r.:..好学近乎知,力行近乎仁,知耻近乎勇。——《中庸》【答案】(1)相切,理由见解析;(2)2.【解析】试题分析:(1)根据切线的性质,可得∠ODC的度数,根据菱形的性质,可得CD与BC的关系,根据SSS,可得三角形全等,根据全等三角形的性质,可得∠OBC的度数,根据切线的判定,可得答案;(2)根据等腰三角形的性质,可得∠ACD=∠CAD,根据三角形外角的性质,∠COD=∠OAD+∠AOD,根据直角三角形的性质,可得OC与OD的关系,根据等量代换,可得答案.(1)⊙O与BC相切,理由如下连接OD、OB,如图所示:∵⊙O与CD相切于点D,∴OD⊥CD,∠ODC=90°.∵四边形ABCD为菱形,∴AC垂直平分BD,AD=CD=CB.∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上,∵OD=OB,OC=OC,CB=CD,∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC=90°,又∵OB为半径,∴⊙O与BC相切;(2)∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD.∵AO=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠COD=∠OAD+∠AOD,∠COD=2∠CAD.∴∠COD=2∠ACD:..士不可以不弘毅,任重而道远。仁以为己任,不亦重乎?死而后已,不亦远乎?——《论语》又∵∠COD+∠ACD=90°,∴∠ACD=30°.1∴OD=OC,21即r=(r+2).2∴r=2.【点睛】运用了切线的判定与性质,利用了切线的判定与性质,菱形的性质,,是大半圆的直径,是小半圆的直径,点是大半圆上一点,与小半圆交于点,过点作于点.(1)求证:是小半圆的切线;(2)若,点在上运动(点不与两点重合),设,.①求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;②当时,求两点之间的距离.【答案】(1)见解析;(2)①,,②两点之间的距离为或.【解析】【分析】(1)连接CO、CM,只需证到CD⊥⊥OP,只需证到CM∥OP,只需证到CM是△AOP的中位线即可.(2)①易证△ODC∽△CDP,从而得到CD2=DP?OD,=0,当点P与点B重合时x=4,点P在大半圆O上运动(点P不与A,B两点重合),因此自变量x的取值范围为0<x<4.②当y=3时,得到-x2+4x=3,、PD的值,从而求出∠CPD,运用勾股定理等知识就可求出P,M两点之间的距离.【详解】(1)连接,如图1所示:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》∵是小半圆的直径,∴即∵∴∵∴∴,∵∴,∴∴.,即∵经过半径的外端,且∴直线是小半圆的切线.(2)①∵,,∴∴∴∽∴∴∵,,,∴当点与点重合时,;当点与点重合时,∵点在大半圆上运动(点不与两点重合),∴∴与之间的函数关系式为,自变量的取值范围是.②当时,解得,Ⅰ当时,如图2所示:..海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐在中,∵,∴,∴∵,∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时,如图3所示,同理可得∵∴∴过点作,垂足为,连接,如图3所示∵,∴同理在中,∵,∴:..非淡泊无以明志,非宁静无以致远。——诸葛亮综上所述,当时,两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识,综合性比较强.