文档介绍：圆的标准方程
会宁一中卢晓兰
第七章直线和圆的方程
教学目标: 知识目标: 、圆心和半径
2. 圆的标准方程
能力目标:、圆心和
半径
德育目标:认识并理解事物运动的规律性
教学重点:圆的定义及其标准方程
教学难点:圆的标准方程的推导
?
复****引入:
?
答: 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。定点是圆心,定长是半径。
答: (1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(建系、设点)
(2)写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};(条件立式)
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程 f(x,y)=0;(代换)
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式;(化简方程)
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。(查缺补漏)
现在根据定义来求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程。
x
C
M
r
O
y
设M(x,y)是圆上任意一点,
根据定义,点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
新课讲授:
圆的标准方程的认识:
(1)圆的标准方程中三个参数a、b、r,其中a、b分别为圆心的纵横坐标, r为半径.
(2)由圆的标准方程可以求出圆心和半径.
(3)由圆心坐标和圆的半径可以唯一确定圆的方程,因此我们可以运用待定系数法求圆的标准方程。(其步骤是:先设方程、再求参数、最后写出方程),其关键是求a、b、r 的值.
圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为:
x2 + y2 = r2
答案:
(x-3)2+(y-4)2=5
练****1: 写出下列各圆的方程:
(1)圆心在点C(3, 4 ),半径是
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
5
(x-8)2+(y+3)2=25
写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) (x-1)2+y2=6
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
(1,0)
6
(-1,2) 3
(-a,0) |a|
例1:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。
C
y
x
O
M
解:设所求圆的方程为:
(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等于半径r
根据点到直线的距离公式,得
| 3×1— 4×3 — 7 |
32+(-4)2
=
5
16
r =
因此,所求圆的方程是
练****2:已知一个圆的圆心在原点,并与直线4x+3y-70=0相切,求圆的方程。
答案: x 2+y2=196
例2 已知圆的方程是,求经过圆上一点
的切线的方程。
y
x
O
.
,
),
(
.
,
.
1
2
0
0
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
r
y
y
x
x
r
y
x
M
x
x
y
x
y
y
M
y
x
k
x
y
k
k
k
k
OM
OM
=
+
=
+
-
-
=
-
-
=
=
-
=
所求的切线方程是
在圆上,所以
因为点
的切线方程是
经过点
,
解:设切线的斜率为则
当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用.
例2 已知圆的方程是,求经过圆上一点
的切线的方程。
P(x , y )
由勾股定理:OM2+MP2=OP2
解法二(利用平面几何知识):
在直角三角形OMP中
y
x
O
x0x +y0 y = r2