文档介绍：二次函数及二次函数的图象知识精讲
[知识要点]
1. 一般地,形如的函数叫作x的二次函数。
2. 如图,二次函数的图象是一条抛物线,它的开口向上,且关于y轴对称,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最低点。
3. 二次函数的图象是一条抛物线,它的开口向下,且关于y轴对称,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最高点,它的图象与的图象关于x轴对称。
4. 二次函数的图象是一条抛物线,且关于y轴对称,当a>0时,它的开口向上,图象有最低点——原点;当a<0时,它的开口向下,图象有最高点——原点。|a|越大,开口越小。
5. 二次函数的图象与二次函数的图象形状相同,开口方向和对称轴也相同,但顶点坐标不同,的图象的顶点坐标是(0,b)。
6. 二次函数的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同,将的图象向右平移k个单位就得到的图象,再向上平移h个单位就得到的图象。
7. 二次函数的图象,当时,开口向上,对称轴是直线,顶点坐标为(k,h);当a<0时,开口向下,对称轴是直线x=k,顶点坐标为(k,h)。
8. 二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线
,顶点是。
【典型例题】
例1. 已知抛物线经过原点和第一、二、三象限,则( )
A. a>0,b<0,c=0
B. a<0,b<0,c=0
C. a<0,b<0,c<0
D. a>0,b>0,c=0
答案:D
例2. 在同一直角坐标系中,直线y=ax+b和抛物线的图象只可能是图中的( )
答案:C
例3. 在同一直角坐标系中,函数的图象只可能是图中的( )
答案:D
例4. 抛物线的顶点在y轴上,则m的值为______________。
答案:
例5. 按要求求出下列二次函数的解析式:
(1)形状与的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(0,-3)的抛物线的解析式;
(2)与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式;
(3)对称轴是y轴,顶点的纵坐标是,且经过(1,1)点的抛物线的解析式。
解:(1)
(2)
(3)
例6. 已知函数
(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标、对称轴及最值;
(2)求抛物线与x轴、y轴的交点;
(3)观察图象:x为何值时,y随x的增大而增大;
(4)观察图象:当x为何值时,y>0时,当x为何值时,y=0;当x为何值时,y<0。
解:(1)原函数可化为,
∴抛物线开口向上,顶点坐标为,对称轴是直线
当时,
(2)当时,,
∴抛物线与y轴交点坐标为
当y=0时,
解得,
∴抛物线与轴交点坐标为,
(3)当时,y随x的增大而增大
(4)当时,y>0
当时,y=0
当时,y<0
例7. 已知二次函数,根据下列给出的条件求出相应的k的值。
(1)抛物线的顶点在x轴上;
(2)抛物线的顶点在y轴上;
(3)抛物线的顶点在y=4x上。
解:利用顶点坐标公式可求出函数的顶点坐标为
(1)∵顶点在x轴上
∴
解得
∴抛物线的顶点在x轴上时,k=0或k=3
(2)∵顶点在y轴上
∴=0
∴
∴抛物线的顶点在y轴上时,k=0
(3)∵抛物线的顶点在y=4x上
∴
∴
∴抛物线的顶点在y=4x上