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2025年微分几何陈维桓新编习题答案-完整版-完整版.pdf

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2025年微分几何陈维桓新编习题答案-完整版-完整版.pdf

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】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。:..以铜为镜,可以正衣冠;以古为镜,可以知兴替;以人为镜,可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》{(x,y,z)|xyz1}上,命N(0,0,1),S(0,0,1).对于赤道平面上的任意一点p(u,v,0),可以作为一的一条直线经过N,p两点,它与球面有唯一的交点,记为p.(1)证明:点p的坐标是222u2vuv1x,y,z,222222uv1uv1uv1并且它给出了球面上去掉北极N的剩余部分的正则参数表示;(2)求球面上去掉南极S的剩余部分的类似的正则参数表示;(3)求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换;(4).(1)设r(u,v),N,p,p三点共线,故有tR使得OptOp(1t)ON.(1)2222由于Op1,Opuv,OpON0,t0,取上式两边的模长平ON方,得22t2/(uv1).从而222u2vuv1,2.(2),,(u,v)R222222uv1uv1uv1由(1)可知rOptNpONt(u,v,1)(0,0,1)(tu,tv,1t),又2,所以dtt(uduvdv)22rtu(u,v,1)t(1,0,0),rtv(u,v,1)t(0,1,0),uv22222t(tu,tv,t(uv)1)t(tu,tv,1t)tr0.(3)因此rr(u,v)给出了2S{N}的正则参数表示.(2)令q(u,v,0)是S,,有22OptOq(1t)OS(tu,tv,t1),t2/(uv1),222u2v1uv,2.(4)r(x,y,z)Op,,(u,v)R222222uv1uv1uv122rtu(u,v,1)t(1,0,0),rtv(u,v,1)t(0,1,0),uv22222.(5)t(tu,tv,1t(uv))t(tu,tv,t1)tr0因此(4){S}(3)由(2)和(4)式可得2222,从而上面两种正则参数表示在公共(uv)(uv)1部分2上的参数变换公式为S{N,S}uvu,v.(6)2222uvuv由(3)和(5)可知:..君子忧道不忧贫。——孔丘2222(u,v)t(uv1)(u,v)t(uv1)(uv)所以参数变换是可允许的,,令zuiv,wuiv,则上面的参数变换可写成w1/(4)在S{N}上采用(1)式给出的正则参数表示,在S{S}上采用正则参数表示则在公共部分的参数变换公式为uvu,v.(4)2222uvuv由于22构成2的开覆盖,并且S\{N},S\{S}Sv2u22uv(u,v)1(u2v2)2(u2v2)20,(u,v)2uvv2u2(u2v2)2(u2v2)2(u2v2)2所以2是可定向的.□.(1)对单叶双曲面,取腰椭圆a(u)(acosu,bsinu,0),u(0,2)(u)aX(u),bY(u),cZ(u).则直纹面的参数方程为r(u,v)a(u)vl(u)a(cosuvX(u)),b(sinuvY(u)),cvZ(u).由于r(u,v)的分量满足单叶双曲面的方程,可得222(cosuvX(u))(sinuvY(u))(vZ(u))1,,(u)sinuY(u)0X(u)Y(u)Z(u)因此X(u):Y(u):Z(u)sinu:cosu:(u)asinu,bcosu,c得r(u,v)a(cosuvsinu),b(sinuvcosu),cv,(u,v)(0,2)R.(2)对双曲抛物面,令xa(uv),yb(uv),(au,bu,0)v(a,b,2u)(av,bv,0)u(a,b,2v),(u,v):.“”设S是球面,参数方程为r(u,v),球心为a,(r(u,v)a)R,u,vD.(1)微分可得r(ra)0,r(ra)0.(2)uv所以(ra)//rr,从而rarr,即有函数(u,v)使得uvuvar(u,v)(u,v)[r(u,v)][r(u,v)].(3)uv这说明球心a在它的所有法线上.“”(u,v)使得(3)式成:..勿以恶小而为之,勿以善小而不为。——,r作内积,可得(2).这说明d(ra)0,从而(1)uvuv式成立,其中R0(否则S只是一个点,不是正则曲面),以R为半径的球面,或球面的一部分.□:.“”设S是旋转面,(u,v)f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)(f(v)0),.因为rf(v)sinu,cosu,0rf(v)cosu,f(v)sinu,g(v),,uvrrf(v)g(v)cosu,g(v)sinu,f(v),uv所以S上任意一点r(u,v)处的法线N的参数方程为X(t)r(u,v)t[r(u,v)r(u,v)].uv由于z轴的参数方程为Y(s)s(0,0,1)sk,并且f(v)cosuf(v)sinug(v)r,rr,kf(v)g(v)cosug(v)sinuf(v)0,,则(rr)//kg(v)0S是垂直于,(v),旋转面S的所有法线都与z轴相交.“”通过选取坐标系,(u,v)(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v),S的所有法线都与z轴相交,所以法线不能与z轴平行,即(y,z)(x,z)(x,y)rr,,//(0,0,1),(u,v)(u,v)(u,v)(u,v)(u,v)00(y,z)(x,z)(y,z)因此,(u,v)(u,v)(u,v)(u,v)(u,v)(u,v)0000参数变换,曲面的参数方程可以写成r(u,v)(x(u,v),u,v),(u,v)D.(1)于是rx,1,0,rx,0,1,rr1,x,,0,,rr,,xuf(v)其中f(v)(v)cos,(v)sin,S的参数方程(1)可以改写为r(,v)(f(v)sin,f(v)cos,v).这是一个旋转面,由yOz平面上的母线yf(z)绕z轴旋转而得.□(vcosu,vsinu,v),C:u2t,ve是S上的一条曲线.(1)将曲线C的切向量用r,r的线性组合表示出来;uv(2)证明:(1)(2t),esin(2t),ecos(2t),sin(2t),1:..非淡泊无以明志,非宁静无以致远。——诸葛亮C的切向量为(2)(vsinu,vcosu,0),r(cosu,sinu,1),uv在曲线C上每一点t处,r(2t,et)et,r(2t,et).sin(2t),cos(2t),0cos(2t),sin(2t),(r,r)u,(r,r);u2turr2e24urr2et1cos(r,r)v,(,)(,).□,,./(uva).则22rat(u,v,a)(0,0,1),tut,tvt,uvrat(u,v,a)at(1,0,0),rat(u,v,a)at(0,1,0).uuvv所以24a22222222222Erat(uva)2attuatat,uuu2222(uva)222222Frrat(tuv)aattva0,ttuuvuvuv24a22222222222Grat(uva)2attvatat,vvv2222(uva)从而24a2222IEduGdv(dudv).2222(uva)(u,v),由微分du,dv的二次方程22P(u,v)du2Q(u,v)dudvR(u,v)dv0(1):这两个切方向彼此正交函数P,Q,R满足ER2FQGP0,其中E,F,,二次方程(1)有两个互异的实根du:dv和u:v,因此可以分解为两个一次因子的乘积:22Pdu2QdudvRdv(AduBdv)(AduBdv).(2)1122其中A,B,A,B是关于变量(u,v),dv的二次多项1122式,比较两边的系数,得PAA,2QABAB,RBB.(3)12122112由(2)可知(1)所确定两个切方向为du:dvB:A,u:vB:A.(4)1122:..海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐EduuF(duvdvu)Gdvv0(课本())EBB(FBAA)BGA0A(由(4)式)12121212ER2FQGP0.(由(3)式)□(ua)dv.(1)求曲线C:uv0与C:uv0的交角;1222(2)求曲线C:uav,C:uav和C:v1所围成的曲边三角形的各个边123长和各个内角.(3)求曲线C:uav,C:uav和C:.(1)已知222E1,F0,(u,v)(0,0).,dudv;对于C,,r满足1222drrduuadvv1acos(dr,r).2drrdu2a2dv2u2a2v21a221aa1os,(2),在曲纹坐标下,C与C的交点为O(0,0),C与121C的交点为A(a,1),C与C的交点为B(a,1).323因为是计算内角,在O点du2avdv0,,u0,v0,,u0,v0,(u2a2)dv2u26在B点du2avdv2adv0,u0,v0,(u2a2)dv2u26所以O0,os2/,C,C的弧长分别为1231222224,L(C)du(ua)dva4vv1dvL(C)12C01a2222L(C)du(ua),本题为a2a2C:uv,C:uv,C:v1,故1222311L(C)du2(u2a2)dv2av21v41dva(2v2)dv7aL(C),14262C001a/2L(C)du2(u2a2)(3)因为du2a2dudv,(s)以弧长s为参数,,:..不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。——《韩非子》.(s)标架是r;,,.则它的切线曲面参数方程可写为R(s,t)r(s)t(s).由Rt,R可得它的第一基本形式st2222I(1t(s))ds2dsdtdt.(1)直母线(即t-曲线)s0的正交轨线的微分方程为dsdt0,即d(st),作参数变换us,,tvu,切线曲面的参数方程为R(u,v)r(u)(vu)(u).在新参数下,R(u,v)(u)(u)(vu)(u)(u)(vu)(u)(u),R(u,v)(u).uv第一基本形式化为2222I(vu)(u),tvu直接代入(1)式得到上式:22222222I[1(vu)(u)]du2du(dvdu)(dvdu)(vu)(u)(vcosuksinu,vsinukcosu,ku)的参数曲线的正交轨线,(vsinukcosu,vcosuksinu,k),r(cosu,sinu,0).uv第一基本形式为2222I(v2k)-曲线v0的正交轨线的微分方程为EduFdv0,即22.(v2k)dukdv0解这个微分方程:kdv11v1vduddarctan,222v2k2v2k22k12k得到u-曲线的过(u,v)的正交轨线为00v2ktan2(uu)-曲线u0的正交轨线的微分方程为FduGdv0,(u,v)00的正交轨线为vk(uu):在悬链面r(acoshtcos,acoshtsin,at),(t,)R(0,2)与正螺面r(vcosu,vsinu,au),(u,v)(0,2)(dtd)正螺面的第一基本形式为2dv222.(av)du22av(u,v)对正螺面作参数变换,令u,,参数变换是可(t,):..百学须先立志。——,dud,dvacoshtdta1sinhtdtavdt正螺面的第一基本形式化为2dv2222222I(av)duacosht(ddt),,vasinht.□?(1)ru,2uuv,u;33(2)rcosv(uv)sinv,sinv(uv)cosv,u2v;(3)ra(uv),b(uv),2uv;(4)rucosv,usinv,.(1)234v2vru,2u,u1,3u,2ua(u)a(u).36u所以它是可展曲面,因为它是正则曲线a(u)234(u0),2u,u(2)rcosv,sinv,v(uv)sinv,cosv,1a(v)ua(v),其中a(v)cosv,sinv,v是圆柱螺线,.(3)令a(u)au,bu,0,l(u)a,b,(u)vl(u),直接计算得a(u),l(u),l(u),它是马鞍面,a(u),l(u),l(u)0,,它是平面,,它不是正则曲面.(4)令a(v)0,0,sin2v,l(v)cosv,sinv,(v)ul(v).由于a,l,l2cos2v0,它不是可展曲面.□,yvz,其中u,(1)求参数u和v之间的关系,使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族;(2).(1)对于固定的参数u,v,该双参数直线族中的一条直线L(u,v)可以写成点向式:3xvy(u/3)zL(u,v):.uv1设所求的函数关系为vf(u).则得到一个单参数直线族LL(u,f(u)),它们构u成的直纹面S的方程为r(u,t)3tu,f(u),(u),u/3,0于是:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》2fu0u2是可展曲面22,Suf10fufuf(u)(2)此时S的参数方程为r(u,t)a(u)tl(u),其中32a(u)f(u),u/3,0,l(u)u,f(u),1,f(u)(u/2)(u)l(u)f,1,uff0,,则有函数tt(u)使得a(u)t(u)l(u)c,,futt,ufttf,t从而t0,,,记2,(u)(u/2)c1a(u)2u(1,u,0)ul(u).u,u,0取新的准线23uub(u)a(u)ul(u).c,cu,u26则22uub(u)l(u).u,c,u,c,122于是S的参数方程为rb(u)(ut)l(u)b(u)(ut)b(u)b(u)tb(u),其中(u,t)(u,ut)是新的参数.□:(s),曲率和挠率分别为,,标架为a;,,.它的主法线族生成的直纹面是S:ra(s)t(s).因为1(s),(s),(s)(s)(s)(s)(s)0,a(s),(s),(s),由可知它的次法线族生成的直纹面S:ra(s)t(s)不是可展曲面.□2