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第 04 讲 一元一次方程的应用
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理(吃透教材)
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.掌握一元一次方程的应用的一般步骤;
2.掌握各类应用题的列方程的方法
知识点 01 列一元一次方程解应用题的步骤
①审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间关系
②设:设未知数(一般求什么,就设什么为 x)
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③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列:根据这个相等关系列出需要的代数式,进而列出方程
⑤解:解所列出的方程,求出未知数的值
⑥答:检验所求解是否符合题意,写出答案(包括单位名称)
知识点 02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题:路程=速度×时间
2.顺水逆水问题:顺水速度=船速+水速;逆水速度=船速-水速
3.和差倍分问题:增长量=原有量×增长率
4.利润问题:商品利润=商品售价-商品进价
5.工程问题:工作量=工作效率×工作时间,各部分劳动量之和=总量
6.银行存贷款问题:本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期数
7.数字问题:多位数的表示方法:例如:abcd a b c d=´+´+´+10 10 103 2
考点一:一元一次方程的应用之古代问题
例题:
(2024 七年级上·全国·专题练习)
1.《直指算法统宗》中有这样一道题,原文如下:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小
僧三人分一个,大小和尚得几丁?”大意为:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3
个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人?请解答上述问题.
【变式训练】
(2024·安徽六安·模拟预测)
2.《孙子算经》中记载:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问人和车各几何?”
其大意是:“今有若干人乘车,每3人乘一车,最终剩余2辆空车;若每2人同乘一车,最终
剩下9人因无车可乘而步行,问有多少人,多少辆车?”试求有多少人,多少辆车.
(24-25 六年级上·黑龙江绥化·期中)
3.《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到:他一生的六分之一是童年,十二分之
一是无忧无虑的少年,又过了一生的七分之一组建幸福的家庭,五年后儿子出生,不料儿子
先其父而死,此时儿子只活了父亲岁数的一半,丢番图在悲痛中又度过了四年,最终离开了
人世.请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁?
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考点二:一元一次方程的应用之销售问题
例题:
(24-25 九年级上·重庆·阶段练习)
4.在 2024 年巴黎奥运会中,中国奥运健儿们斩获 44 枚金牌完美收官,其中跳水小将全红
婵表现出色,一共收获了 2 枚金牌,某跳水爱好粉丝团,在女子双人 10 米跳台比赛前准备
给全红婵送绿龟礼物,第一次采购了 20 个绿龟玩偶和 20 个绿龟挂件,共花费了 1400 元,
已知玩偶的单价比挂件贵 50 元.
(1)第一次购买时,绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元?
(2)在第二场女子 10 米跳水比赛时,跳水爱好粉丝团又组织了一次购买,第二次购买在第一
次购买的基础上,挂件单价优惠了a元,玩偶单价优惠了5a 元,挂件和玩偶的购买费用依
然不变,玩偶的个数也不变,但挂件比玩偶多出了一件,请求出a的值.
【变式训练】
(24-25 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中)
5.某超市第一次用 7000元购进甲、乙两种商品,其中甲商品的件数是乙商品件数的2 倍,
甲、乙两种商品的进价和售价如表:(注:获利=售价-进价)
甲 乙
进价/(元/件) 20 30
售价/(元/件) 25 40
(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件?
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品,其中甲商品的件数不变,乙商品
的件数是第一次的 3 倍.甲商品按原价销售,乙商品降价销售,第二次两种商品都售完以后
获得的总利润比第一次获得的总利润多800元,求第二次乙商品的售价是多少?
考点三:一元一次方程的应用之方案问题
例题:
(24-25 七年级上·湖北恩施·阶段练习)
6.某游乐园有如表 A,B,C 三种购票方式:
种类 购票方式
A 一次性使用门票,每张 15 元
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B 年票每张150元,持票者每次进入游乐园无需再购买门票
C 年票每张 80 元,持票者进入游乐园时需每次再购买 6 元的门票
(1)某游客一年中进入该游乐园共有 a 次,分别求三种购票方式一年的费用.(用含 a 的代数
式表示)
(2)某游客一年中进入该游乐园共有 12 次,选择哪种购买方式比较优惠?请通过计算说明.
(3)已知甲、乙、丙三人分别按 A,B,C 三种方式购票,且他们一年中进入该游乐园的次数
相同.一年中,若甲所花的费用与乙所花费用相等,求丙在这一年中进入该游乐园所花的费
用.
【变式训练】
(22-23 七年级上·云南玉溪·期末)
7.某服装批发商促销一种裤子和 T 恤,在促销活动期间,裤子每件定价 100 元,T 恤每件
定价 50 元,并向客户提供两种优惠方案:
方案一:买一件裤子送一件 T 恤;
方案二:裤子和 T 恤都按定价的80%付款.
现某客户要购买裤子 30 件,T 恤 x 件( x > 30 ):
(1)按方案一,购买裤子和 T 恤共需付款 ______(用含 x 的式子表示);
(2)计算一下,购买多少件 T 恤时,两种优惠方案付款一样?
(3)若两种优惠方案可同时使用,当 x = 40时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?
考点四:一元一次方程的应用之配套问题
例题:
(24-25 七年级上·重庆·阶段练习)
8.甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅,由于甲、乙两厂特长不同,甲厂每月
3 2
(30天)用的时间生产课桌,的时间生产课椅,每个月可生产900 套课桌椅;乙厂每
5 5
2 1
月用 的时间生产课桌,的时间生产课椅,每个月可生产1500 套课桌椅,现在两厂联合
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生产,经过合理安排,尽量发挥各自特长.现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套?
【变式训练】
(24-25 七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)
9.某车间有27 个工人生产甲、乙两种零件,每3 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套,已
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知每个工人每天能加工甲种零件 12 个或乙种零件 16 个,为使每天生产的两种零件配套,则
生产甲、乙零件的工人数各多少人?
(22-23 七年级上·四川绵阳·期末)
10.糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼,每盒装2 块大月饼和 6 块小月饼,制作1 块大月
面粉,1 面粉.
(1)若制作若干盒月饼共用了264kg面粉,则制作了多少盒月饼?
(2)A 公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒,该糕点厂给出的团购价格如下:
购买的数量(盒) 不超过 60 或刚好 60 超过 60
每盒单价(元) 200 180
若A 公司决定给45 名员工和 x 名客户0 20<<x 各订购一盒月饼作为福利,用含x 的式子
表示购买月饼的费用.
考点五:一元一次方程的应用之工程问题
例题:
(2024 七年级上·全国·专题练习)
11.甲、乙两人共同承包一项工程,甲单独做 30 天完成,乙单独做 20 天完成,合同规定
15 天完成,否则每超过 1 天罚款 1000 元.
(1)在规定时间内,甲、乙两人能否完成这项工程?
(2)现两人合作了这项工程的75% ,因别处有急事,必须调走1 人.调走谁更合适?
【变式训练】
(24-25 七年级上·天津·期中)
12.一项工程,甲队单独做需18 天,乙队单独做需24 天,如果两队合作8 天后,余下的工
程再由甲队单独完成.
(1)甲队还需多少天才能完成这项工程?
(2)若甲队每天的酬劳为 2000 元,乙队每天的酬劳为 1500 元,问完成这项工程共需支付两
队多少钱?
(24-25 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中)
13.哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修,装修后产生的建筑垃圾需要清理.计划租用甲、
乙两车队清理建筑垃圾,已知甲车队单独运完需要20天,乙车队单独运完需要30天.乙车
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队先运了5天,然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾.
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾?
(2)已知甲车队每天的租金170元,比乙车队少30元,运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租
金多少元?
考点六:一元一次方程的应用之行程问题
例题:
(24-25 七年级上·辽宁沈阳·阶段练习)
14.小明、小杰两人在400 米的环形赛道上练习跑步,小明每分钟跑280 米,小杰每分钟跑
220 米.若小明、小杰两人同时同地反向出发,那么出发几分钟后,小明,小杰第一次相
遇?
【变式训练】
(2024 七年级上·全国·专题练习)
15.甲站和乙站相距1500km,一列慢车从甲站开出,速度为60km / h,一列快车从乙站开出,
速度为90km / h.
(1)若两车相向而行,慢车先开30min,快车开出多少小时后两车相遇?
(2)若两车同时开出,相背而行,多少小时后两车相距1800km?
(3)若两车同时开出,快车在慢车后面同向而行,多少小时后两车相距1200km(快车在慢车
的后面)?
(24-25 七年级上·广东惠州·期中)
16.已知在数轴上点A 表示的数为 8,B 在 A 点左侧,且A,B 两点间的距离为 14.动点P
从点 A 出发,以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,点 Q 从 B 点向右运动,速
度为每秒 2 个单位,PQ 同时出发,设运动时间为t t > 0秒.
(1)数轴上点 B 表示的数是______;当点 P 运动到 AB 的中点时,它所表示的数是______.
(2)动点 Q 从点 B 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,求:
①当点 P 和点 Q 运动多少秒时,点 P 和点 Q 第一次相遇?
②当点 P 运动多少秒时,点 P 与点 Q 间的距离为 6 个单位长度?
考点七:一元一次方程的应用之数字问题
例题:
(23-24 七年级上·江苏苏州·期中)
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17.一个两位数,十位数字是个位数字的 2 倍,将两个数对调后得到的新两位数与原两位
数的和是 99,原两位数是 .
【变式训练】
(24-25 七年级上·广东广州·期中)
18.将奇数1至2025按照顺序排成下表:
记Pmn表示第m 行第n 个数,如P23表示第2行第3个数是17 .
(1)P43 = ;
(2)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移,所覆盖的4个数之和能否等于100.若能,
求出4个数中的最大数;若不能,请说明理由;
(3)用m 、n 的式子表示Pmn = ;
(4)若Pmn = 2021,求m 、n 的值.
考点八:一元一次方程的应用之比赛问题
例题:
(24-25 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中)
19.“办学互助”是萧红中学办学特色之一.七年 18 班的第一组 6 名同学,自行组织知识竞
赛,共设 20 道选择题,各题分值相同,每题必答,下表记录的是 5 名同学的得分情况:
参赛者 A B C D E
答对题数 20 19 18 14 10
答错题数 0 1 2 6 10
得分 100 94 88 64 40
(1)由表格知,答对一题得________分,答错一题得________分;
(2)第 6 名同学 F 得了 82 分,请你帮他算一算,答对了几道题?
【变式训练】
(2024 七年级上·全国·专题练习)
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20.在 2022 年女足亚洲杯决赛中,中国女足以3: 2逆转韩国女足,时隔16 年再夺亚洲杯冠
军!某学校掀起一股足球热,举行了班级联赛,九(1)班开局 11 场保持不败,共积 25 分,
按照比赛规则,胜一场积 3 分,平一场积 1 分,负一场积 0 分,求该班获胜的场数.
(23-24 六年级上·山东淄博·期末)
21.某校初一(3)班组织生活小常识竞赛,共设 20 道选择题,各题分值相同,每题必
答.下表记录了其中 4 个参赛者的得分情况.
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 18 2 88
C 64
D 10 10 40
(1)参赛者 E 说他错了 10 个题,得分为 50 分,请你判断可能吗?并说明理由:
(2)参赛者 C 答对了几道题?请你通过计算说明.
考点九:一元一次方程的应用之几何问题
例题:
(24-25 八年级上·湖南永州·阶段练习)
22.如图,在VABC 中,Ð=°C 90 ,BC =8,AC = 6 ,点E 是BC 的中点,动点P 从A 点出
发,以每秒2个单位的速度沿A C E®® 运动.若设点P 运动的时间是ts ,若VAPE 的面积
等于8.那么t值是( )
11 11
A.2 B. C.2或D.不存在