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第07讲一元二次方程的应用-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义(沪科版)[含答案].pdf

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第07讲一元二次方程的应用-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义(沪科版)[含答案].pdf

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第 07 讲 一元二次方程的应用
1.通过分析具体问题中的数量关系,建立方
模块一 思维导图串知识 程模型并解决实际问题,总结运用方程解决
模块二 基础知识全梳理(吃透教材) 实际问题的一般步骤;
模块三 核心考点举一反三 2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思
模块四 小试牛刀过关测 维能力、分析问题和解决问题的能力;
知识点 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤:
审:审题目,分清已知量、未知量、等量关系等;
设:设未知数,有时会用未知数表示相关的量;
列:根据题目中的等量关系,列出方程;
解:解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰;
验:检验方程的解能否保证实际问题有意义
试卷第 1 12页,共页 : .
答:写出答案,切忌答非所问.
注意:列方程解实际问题的三个重要环节:一是整体地、系统地审题;二是把握问题中的等
量关系;三是正确求解方程并检验解的合理性.
知识点 2 一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是:个位、十
位、百位、千位……,它们数位上的单位从右至左依次分别为: 1、10、100、1000、……,
数位上的数字只能是 0、1、2、……、9 之中的数,而最高位上的数不能为 0.因此,任何
一个多位数,都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示,这也就是用多项
式的形式表示了一个多位数.如:一个三位数,个位上数为 a,十位上数为 b,百位上数为
c,则这个三位数可表示为:100c+10b+a .
(2)几个连续整数中,相邻两个整数相差 1.
如:三个连续整数,设中间一个数为 x,则另两个数分别为 x-1,x+1;几个连续偶数(或奇
数)中,相邻两个偶数(或奇数)相差 2.如:三个连续偶数(奇数),设中间一个数为 x,则另
两个数分别为 x-2,x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时,要理清原来数、后来数、增长率或降低率,以及
增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程,那么应在原数的基础
上增长或降低两次.
1 a x b(1 )+= n (a x n
( )增长率问题:平均增长率公式为 为原来数, 为平均增长率, 为增长
次数,b 为增长后的量.)
(2)降低率问题:平均降低率公式为a x b(1 )-= n (a 为原来数,x 为平均降低率,n 为降低
次数,b 为降低后的量.)
3.利息问题
(1)概念:
本金:顾客存入银行的钱叫本金.
利息:银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和:本金和利息的和叫本息和.
期数:存入银行的时间叫期数.
试卷第 2 12页,共页 : .
利率:每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系:
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.图形面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题,解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形,
根据图形的面积或体积公式,找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
注意:列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题(列方程),然后由数学问题
的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想-方程思想.
考点 01:传播问题
例题
1.春季流感爆发,有一人患了流感,经过两轮传染后共有 81 人患了流感.
(1)每轮传播中平均一人传染几个人?
(2)经过三轮传染后会超过 700 人患流感吗?请说明理由.
【变式 1】
2.学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律,即植物的 1 个主干
上长出 x 个枝干,每个枝干又长出2x个小分支,现在一个主干上的主干、枝干、小分支数
量之和为68,根据题意,下列方程正确的是( )
2 2
A.1 68++=x x B.1 1 2 68++= x
试卷第 3 12页,共页 : .
2 2
C.1 2 68++=x x D. x x++=1 2 68
【变式2】
3.诺如病毒是一种传染性比较强的病毒,会引起病毒性胃肠疾病,具有发病急、传播速度
快、涉及范围广等特点,在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发.假设有一个人感染了该
病毒,经过两轮传染后共有49人感染该病毒,则每轮传染中平均一个人传染了 人.
【变式 3】
4.在人群密集的场所,信息传播很快,某居委会有 3 人同时得知一则喜讯,经过两轮传播
后,使得这则喜讯在共有 864 人的居民小区中的知晓率达50%,那么每轮传播中平均一人
传播了多少人?设每轮传播中平均一人传播了x 人,列方程为 .
考点 02:增长率问题
例题2.(24-25 九年级上·吉林长春·期中)
5.随着旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,,4月份游
.求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率.
【变式1】
(24-25 九年级上·山东济宁·期中)
6.新能源汽车节能,环保,越来越受消费者喜爱,2022 年某款新能源汽车销售量为 20 万
辆,销售量逐年增加, 2024 年预估销售量为 24 万辆,求这款新能源汽车的年平均增长率,
可设这款新能源汽车的年平均增长率为 x,根据题意,下列方程正确的为( )
2 2 2 2
A.20 1 24 +=x B.24 1 20( )-=x C.24 1 20( )-=x D.20 1 24 +=x 
【变式2】
7.某药品经过两次降价,每瓶零售价由112 元降为 63 元.已知两次降价的百分率相同.要
求每次降价的百分率,若设每次降价的百分率为 x,则得到的方程为( )
2 2
A.112 1 63 -=x B.112 1 63 +=x
112 1 63-=x2 112 1 63+=x2
C.   D.  
【变式2】
(24-25 九年级上·广东广州·期中)
8.新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具,据某品牌新能源汽车经销商8 月份至 10 月
份统计,该品牌新能源汽车 8 月份销售 1000 辆,10 月份销售 1690 辆.设月平均增长率为
试卷第 4 12页,共页 : .
x ,根据题意可列方程为 .
考点 03:数字问题
例题
9.已知一个数的平方与 10 的差等于这个数与 10 的和,求这个数.
【变式 1】
(24-25 九年级上·河北唐山·期中)
10.两个相邻奇数的积是 195,则这两个奇数的和为( )
A.26 B.28 C.-26或26 D.-28或28
【变式 2】
11.一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大 40,已知十位上的数字比个位
上的数字大 2,则这个两位数是 .
【变式 3】
(24-25 九年级上·吉林松原·期中)
12.《念奴娇·赤壁怀古》,在苏轼笔下,周瑜年少有为,文朵风流,雄姿英发,谈笑间,樯
橹灰飞烟灭,然天妒英才,英年早逝,欣赏下面改编的诗歌,“大江东去浪淘尽,千古风流
数人物. 而立之年督东吴,早逝英年两位数. 十位恰小个位三,个位平方与寿符. ”请你
求周瑜去世的年龄.(友情提示:周瑜去世的年龄大于二十七岁.)
考点 04:营销问题
例题4.(24-25 九年级上·江西九江·期中)
13.某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件的进价为 80 元,当销售单价为 120 元时,
每天的销售量是 20 件,据测算,每件童装每降价 1 元,平均每天可多售出 2 件.
(1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利 1088 元,求该款童装每件应降价多少元?
(2)在(1)的基础上,在获利不变的情况下,为尽可能减少库存,扩大销售量,该专卖店销
售该款童装时应按原售价的几折出售?
【变式 1】
试卷第 5 12页,共页 : .
(24-25 九年级上·陕西咸阳·期中)
14.某水果经销商批发了一批水果,进货单价为每箱50元,若按每箱60元出售,则每天可
销售80箱.现准备提价销售,经市场调研后发现:每箱每提价1元,每天的销量就会减少2
箱.设该水果售价为每箱x x > 60元.
(1)用含 x 的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱;(化为最简形式)
(2)既要考虑经销商的利润,保证经销商每天可获得1200元利润,又要让利于消费者,则这
批水果应按每箱多少元销售?
【变式2】
(24-25 九年级上·山东枣庄·期中)
15.2024 年 4 月 25 日,搭载神舟十八号载人飞船的长征二号 F 遥十八运载火箭发射成
功.某网店为满足航空航天爱好者的需求,特推出了“中均每
天可售出 20 个,每个盈利40 元.为了扩大销售,该网店准备适当降价,经过一段时间测算,
每个模型每降低 1 元,平均每天可以多售出 2 个.
(1)若每个模型降价 5 元,平均每天可以售出多少个模型?此时每天获利多少元?
(2)在每个模型盈利不超过 25 元的前提下,要使“中国空间站”模型每天获利 1200 元,每个模
型应降价多少元?
【变式 3】
16.超市销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利
该店采取了降价措施,在让顾客得到更大实惠的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价
每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降价6 元,则平均每天销售数量为多少件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为 1200 元?
考点 05:图形面积问题
例题
17.我载“圆中方形”问题:“今有圆田一段,中间有个
方池.丈量田地待耕犁,恰好三分在记,池面至周有数,每边三步无疑.内方圆径若能知,
堪作算中第一.”其大意为:有一块圆形的田,中间有一块正方形水池,测量出除水池外圆
内可耕地的面积恰好 72 平方步,从水池边到圆周,每边相距 3 步远.如果你能求出正方形
边长和圆的直径,那么你的计算水平就是第一了.如图,设正方形的边长是x 步,则列出的
试卷第 6 12页,共页 : .
方程是(  )
2
2 2 æöx 2
A.p( 3) 72x x+-= B. p ç÷ +-=3 72x
èø2
2
2 2 æöx 2
C.p( 3) 36x x+-= D.p ç÷ +-=3 36x
èø2
【变式1】
18.图①是一张长28cm,宽16cm的矩形纸片,将阴影部分裁去(阴影部分为4 个完全相
同的小矩形)并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子.设该盒子的高为
xcm,根据题意,可列方程为( )
A.28 2 16 2 80--=x x  B.28 2 2 16 2 80-´-= x x 
æö1 1
C.ç÷ ´--=28 2 16 2 80x x  D. 28 2 16 2 80--=x x 
èø2 2
【变式2】
19.如图,利用一面墙,用长80m的篱笆围成一个矩形场地,所围矩形场地的面积为800平
方米,请求出BC 的长.
【变式3】
(22-23 九年级上·四川成都·期中)
20.学校停车场车位布局如图所示.已知矩形停车场的长为50m,宽为30m,共有A B C D

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