数学分析第六章中值定理.ppt

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第六章 导 数 应 用
§1 微分中值定理
一、费马引理 ( Fermat )
二、罗尔 ( Rolle ) 中值定理
三、拉格朗日 ( Lagrange ) 中值定理
四、柯西 ( Cauchy ) 中值定理
一、费马引理( Fermat )
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定义1（极值概念）
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[Fermat定理]
定理1
（极值的必要条件）
（可导函数取得极值的必要条件）
【几何意义】
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水平切线
【定义】
通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）
【几何意义】
处取得极值,
处具有切线，
则该切线必是水平的.
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【证】
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由极限的不等式性及可导条件立得
01
所以
02
［证完］
03
则
04
定理证明
05
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研究下面两例：
6
说明什么问题？
贰
【注】
壹
是可导函数取得极值的必要条件
叁
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二、罗尔（Rolle）定理
7
如果 f (x)满足:
01
则 至少存在ξ∈(a , b)，使得 f (ξ)=0
02
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【几何解释】
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连续、可导、端点值相等函数必有一最值点在区间内部取得。
该最值点必为极值点。
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Rolle定理 零点定理
［例如］
01.
如果 f (x)满足:
02.
则 至少存在ξ∈(a , b)，使得 f (ξ)=0
03.
【证】
10
即
有
由Fermat定理立得
［证完］
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