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PART 1
目录
空间
空间
01
02
向量
向量
03
空间
基本
04
向量
定理
05
的运
空间
06
算
向量
1、空间直角坐标系
以单位正方体 的顶点O为原点，分别以射线OA，OC， 的方向 为正方向，以线段OA，OC， 的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系
C'
D'
B'
A'
C
O
A
B
y
z
x
O为坐标原点， x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面
一、基本概念
空间直角坐标系
右手直角坐标系
—Oxyz
横轴
纵轴
竖轴
点M
（X，Y，Z）
有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标, z叫做点M的竖坐标
2、空间直角坐标系中点的坐标
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.
4、平面的法向量
n
α
3、直线的方向向量
1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
2、根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),
便得到平面法向量n的坐标.
a
n
b
5、平面法向量的求法
设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥
例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量
解：平面ABC的法向量为:
章节一
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），
则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），
设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),
由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得
解得
取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)
A
A
B
O
z
y
A1
C1
B1
A
x
C
D
D1
例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
两法向量所成的角与二面角的关系
设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.