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202X
《线 性 代 数》
电子教案之五
主要内容
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第五讲 矩阵的初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换的概念；
阶梯形矩阵的概念；
矩阵等价的概念；
三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩
阵，知道矩阵等价的概念；
知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联
系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
课件
一、概念的引入
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第一节 矩阵的初等变换
引例 用消元法求解线性方程组
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解
析：为了引入概念，在消元的过程中，把方程组看作一个整体，不是着眼于某一个方程的变形，而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.
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为消去 做准备
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至此消元完毕，为了求出方程组的解，再只需用
“回代”的方法即可：
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于是解得
其中 可任意取值.
若令 ，则方程组的解为
说明
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求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元
过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换
找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代，
这里方程组的同解变换是指下列三种变换：
对调两个方程；
以不为零的数乘某一个方程；
把一个方程的倍数加到另一个方程上.
从原方程组 同解变换到方程组 的过程可见，
除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一
，方程组有没有解，有什么样解完
全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置
所成数表，，对方程组作
同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
Go
课件
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引
入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换.
同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样
的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行
变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩
阵）.
就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 和
非自由未知数
二、初等变换定义和记号
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1. 定义
下面三种变换称为矩阵的初等行变换
（1）对调两行；
说明
把上述的定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的
初等列变换的定义.
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
（2）以数 乘某一行中的所有元素；
（3）把某一行所有元素的 倍加到另一行对应的
元素上去.
课件
2. 记号
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对调 两行，记作
对调 两列，记作
第 行乘 ，记作
第 列乘 ，记作
第 行的 倍加到第 行上，记作
第 列的 倍加到第 列上，记作
课件