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张国政;韩江;刘有余
【摘 要】为解决高阶椭圆齿轮的制造难题,分析高阶椭圆齿轮节曲线方程及其传动特征, 4 轴联动滚齿策略,承受工具齿条法建立高阶椭圆直齿轮 4 轴 3 联动滚齿模型和高阶椭圆斜齿轮 4 轴 4 ,分别对 4 个不同参数的高阶椭圆直齿轮和高阶椭圆斜齿轮进展虚拟加工, 3 个典型的高阶椭圆齿轮进展实际滚切,试验结果与虚拟滚齿加工全都,为高阶椭圆齿轮制造技术及滚齿数控系统高阶椭圆齿轮加工模块的研发供给了理论根底.
【期刊名称】《计算机集成制造系统》
【年(卷),期】2025(020)005
【总页数】8 页(P1106-1113)
【关键词】高阶椭圆齿轮;节曲线;判别函数;滚齿;虚拟滚齿;联动模型
【作 者】张国政;韩江;刘有余
【作者单位】合肥工业大学 CIMS 争论所,安徽合肥 230009;安徽机电职业技术学院数控系,安徽芜湖 241000;合肥工业大学 CIMS 争论所,安徽合肥 230009;合肥工业大学 CIMS 争论所,安徽合肥 230009
【正文语种】中 文
【中图分类】TG659;TG61+.2
引言
以典型外形节曲线非圆齿轮为对象开展争论，是当前非圆齿轮设计制造的一个代表性方向。文献［1－4］争论了椭圆齿轮设计理论和传动性能，提出诸多齿廓优化设计方法，说明非匀速传动特性可应用于航空航天、农业机械、计量等领域；文献
［5］建立了插齿加工椭圆齿轮的数学模型，但不能应用于插制高阶椭圆齿轮。
近年来，众多学者对异形简单齿轮的优化设计、机构应用、振动掌握等开展了大量争论工作［6－8］，有力推动了齿轮传动理论及应用争论。高阶椭圆齿轮可实现周期性变速比运动，具有独特的运动学、几何学传动特征［9］，应用前景宽阔， 滚切加工是实现高阶椭圆齿轮批量生产的优选高效技术。鉴于节曲线非圆特征，高阶椭圆齿轮滚切难度较大，需建立高效、有用的联动模型，实际应用前有必要承受计算机进展虚拟加工验证。相对于椭圆齿轮，高阶椭圆齿轮极易消灭节曲线内凹现象，目前针对此种齿轮特征的滚切技术还未见报道。为解决其制造难题，本文对高阶椭圆齿轮滚切理论及虚拟滚切核心技术开展争论，为滚齿数控系统高阶椭圆齿轮加工模块的研发供给理论根底。
高阶椭圆齿轮节曲线方程
在椭圆的根底上保持极径不变，将椭圆极角缩小整数倍，即可演化出高阶椭圆，其表达式［10］为
式中：r 为极径；a 为半长轴；e 为偏心率；θ 为极角；n 为阶数，n≥1。n＝1 时
为一阶椭圆〔简称椭圆〕，n＝2 时为二阶椭圆〔又称卵形〕，n≥3 时为高阶椭圆。a＝150，n＝1，…，4 的几种典型椭圆如图 1 所示。可见，n≥2 时，高阶椭圆为
周期是 n 的周期性曲线。承受高阶椭圆作为节曲线的齿轮，可实现传动比周期性变化。
高阶椭圆齿轮的可滚齿加工条件
非圆齿轮的可滚齿加工条件是节曲线非内凹，即节曲线上各点的曲率半径均大于 0
［11］。式〔1〕描述的高阶椭圆齿轮节曲线曲率半径为故节曲线上无内凹局部的条件为
依据式〔1〕得：
由式〔4〕和式〔1〕得可滚齿加工条件
图 1 所示的 4 种高阶椭圆齿轮节曲线可滚齿加工判别函数 F 值如图 2 所示，其中： 图 2d 局部极角处 F＜0，不能滚制；其余齿轮的节曲线全部极角处 F＞0，能够滚
齿加工。
四轴联动滚齿加工模型
高阶椭圆直齿轮滚齿联动模型
如图 3 所示，建立机床坐标系 S〔o－xyz〕，x 轴和 z 轴分别与滚刀节线和齿坯回转轴线平行，y 轴与滚刀节线垂直；滚刀在端面内的投影为齿条，其转动 ωb 可实现工具齿条的平移 vb，刀具坐标系 Sb〔obxbybzb〕与工具斜齿条固联，各轴与S〔o－xyz〕平行，起始时与其重合；工件坐标系 Sc〔oc－xcyczc〕与齿坯固联， 同步转动，zc 轴与齿坯回转轴线重合，起始时 xc 轴平行于 y 轴、yc 轴平行于 x
轴；以 oc 点为极点、以 xc 轴为极轴建立极坐标系，椭圆齿轮节曲线极坐标方程
为 r＝r〔θ〕。θ，φc 及齿坯角速度 ωc 的计量方向如图 3 所示。
依据工具齿条滚齿原理［12］，齿条节线与椭圆齿轮节曲线作无相对滑动的纯滚动，两者相切于 T。滚刀与齿坯间的展成运动可产生渐开线，滚刀转动 ωb 和齿坯
转动 ωc 需保持严格的联动关系；齿坯需沿 y 轴作 vy 联动，形成非圆齿轮节曲线。为切制全齿，滚刀应有沿 z 轴的竖直进给运动 vz，该运动一般恒速，无需联动。
图 3 中 μ 为极径与椭圆节曲线切线正方向的夹角，由微积分理论［13］可知
式中 U＝1＋e2cos2〔nθ〕－2ecos〔nθ〕＋n2e2sin2〔nθ〕。由图 3 及式〔7〕 得：
式中：ω＝dθ／dt，为齿坯极角速度；V ＝1－ 〔n2＋2〕ecos〔nθ〕＋〔n2＋ 1〕e2cos2〔nθ〕＋4n2e2sin2〔nθ〕。
由于节曲线 r＝r〔θ〕为高阶椭圆，展成加工中 ωc 相对于 ωb 呈非线性变化。设齿坯极角为 θ 时，存在一个以 oc 为回转中心、以 oc 到节曲线切线的距离 R 为分度圆半径的圆柱当量直齿轮，其模数 mn 及压力角 αn 均与椭圆齿轮一样，设其当量齿数〔齿坯端面瞬时齿数〕为 Zv，则
式中 K 为滚刀头数。又由于
将式〔11〕和式〔10〕代入式〔9〕得齿坯沿 y 轴的速度为
承受滚刀恒速方案，即 ωb 恒定，ωc 和 vy 对其联动，由式〔9〕、式〔12〕和式
变形构成联动掌握模型：
式〔14〕说明，高阶椭圆直齿轮可承受四轴三联动实现滚齿加工，vz 恒速进给， 无需进展联动。
高阶椭圆斜齿轮滚齿联动模型
滚切斜齿轮的进给运动是螺旋线，可分解为滚刀沿 z 轴竖直运动 vz 和齿坯附加回转运动 Δωc，需保持严格联动关系［14］：滚刀沿齿坯轴向移动一个导程，齿坯附加转动一周。因此
两边求导并化简为 故齿坯合成后转速为
式中齿坯与滚刀旋向全都时取“＋”，反之取“－”。
高阶椭圆斜齿轮滚齿在端面内的联动与直齿轮相像，由于端面模数为 mt，可将式
中的 mn 替换为 mt，且 mt＝。由式〔14〕、式〔16〕和式〔17〕得滚齿加工联动掌握模型为：
式中 βc 为齿轮螺旋角。
式〔18〕说明，高阶椭圆斜齿轮可承受四轴四联动实现滚齿加工。4 虚拟滚齿加工原理
如图 4 所示，工具齿条节线 AB 为始终线，滚齿加工时，AB 与高阶椭圆齿轮节曲
线相切于点 T，且相互纯滚动。AB 的斜率
工具齿条节线〔中线〕AB 方程为：
式中 d 为虚拟滚切中显示的中线长度。
a＝150，n＝2，…，4 的几种高阶椭圆齿轮滚齿加工过程中，齿条节线相对于齿轮节曲线的位置关系如图 5 所示。其中图 5a、图 5b 和图 5c 的全部节曲线满足式
〔5〕，其齿条节线包络线即为齿轮节曲线，可以滚切加工；图 5d 局部节曲线不满足式〔5〕，有齿条节线穿越齿轮节曲线，齿轮将发生过切，因此不行滚制。
图 6 所示的粗线为一节距工具齿条，整体齿条可以此循环绘出。加工斜齿轮的工具斜齿条需将法面参数 mn，αn，，替换为端面参数 mt，αt，，。
图 6 所示的齿条一侧刃与中线的交点为 G，齿条整体沿中线移动可以用 G 点相对T 点的位移来表征。依据图 7 所示关系得齿条特征点位置掌握表达式如下：
式中：j 为显示工具齿条的节距数；l 为任意时刻的齿条位移 TG，等于滚切过的节曲线弧长 AT，即 G 点相对 T 点的位移，
高阶椭圆齿轮虚拟滚齿加工
本文以 MATLAB 为工具，基于式〔14〕和式〔18〕分别进展高阶椭圆直齿轮和斜齿轮三维虚拟滚切。图 5 所示参数的直齿轮滚齿加工结果如图 8 所示，斜齿轮滚
齿加工结果如图 9 所示。虚拟滚齿呈现了滚齿模型掌握下的刀位轨迹，可预显实
际齿廓外形，能以经济有效的方式对理论进展验证，避开盲目加工。图 8d 和图9d 所示的直齿轮和斜齿轮，由于局部节曲线内凹，刀具加工内凹处对外凸齿形有干预，所以致其过切；图 8 和图 9 所示的其余齿轮全部节曲线外凸，虚拟滚切结果正确，能够滚制。
实例验证
基于式〔14〕和式〔18〕，在 ARM ＋ DSP＋ FPGA 滚齿数控平台［16］上开发出高阶椭圆齿轮加工模块，并实际滚切三种参数的典型高阶椭圆齿轮，结果如图
10 所示。图 10a 为节曲线外凸 4 阶直齿轮〔a＝150，n＝4，e＝，mn＝8〕， 图 10b 为节曲线外凸 4 阶斜齿轮〔a＝150，n＝4，e＝，mn＝8，βc＝ °〕，滚切所得实物与虚拟加工所得的图 8c 和图 9c〔参数一样〕节曲线及齿廓全都，证明联动模型〔14〕和〔18〕正确可行，虚拟加工结果准确。图 10c 是
按图 8d 参数〔a＝150，n＝4，e＝，mn＝8〕建立的 3D 理论齿轮模型，局部节曲线内凹，滚切实物如图 10d 所示，与图 10c 相比，过切导致齿廓严峻变形， 不满足齿轮啮合原理；图 10d 与图 8d 外形全都。
以外凸 4 阶椭圆直齿轮为例，选取该齿轮齿廓上的节点、顶点和齿根点，并在三
点之间再取两个齿廓点坐标在三坐标测量机上进展检测，检测 390 个实测坐标点
〔其中该齿轮 39 个轮齿上 78 个节点的选取是通过 NC 机床上利用微型铣刀稍微刻划在齿轮端面的节曲线与实际齿廓的交点上获得〕，利用三坐标测量机对其所划刻的节曲线与每个轮齿齿廓上相交的节点、齿廓上顶点、齿根点，以及三点之间再
取的两点进展检测〔如图 11 和图 12〕，比较三坐标测量机对非圆齿轮齿廓上的
390 个实测坐标位置与理论齿廓坐标位置。通过对齿廓 78 个节点的实测数据，可
排列出各节点坐标在 X 和 Y 坐标方向的偏差 δx 和 δy 在某一区间的频率分布状况， 分别如表 1 和表 2 所示，进而以相应频次为纵坐标、以实测节点中间值为横坐标， 作出非圆齿轮各齿廓节点实测偏差分布图，如图 13 所示。由图 12、图 13 可见， 实际滚切加工齿轮检测的齿廓节点坐标和理论齿廓节点坐标之间测量偏差的消灭区 间频率大致一样，实际齿廓线与理论齿廓线全都，通过结合图 10 进展分析，证明
实际加工节曲线的可滚齿条件及虚拟加工节曲线的结果正确。在图 12 中还觉察了非圆齿轮靠近节曲线曲率半径最小处齿廓节点的坐标偏差值较大，即同一轮齿两齿廓上的节点偏差值分别集中在表 1 或表 2 中区间的序号 1 和序号 7 两端，这为进一步争论高阶非圆齿轮滚切误差机理争论奠定了根底。
表 2 节点偏差 δy 值频率分布表序号 区间值／mm 中间值／mm 频次 频率 1 － ～－ － 11 －～－ － 10 －
～－ － 12 －～ 13
～ 10 ～ 11 ～
11
7 完毕语
表 1 节点偏差 δx 值频率分布表序号 区间值／mm 中间值／mm 频次 频率 1 － ～－ － 12 －～－ － 9 －
～－ － 11 －～ 13
～ 11 ～ 11 ～
11
本文依据节曲线非内凹条件建立了高阶椭圆齿轮可滚切判别函数，通过虚拟加工和
滚切实例证明：当全部节曲线 F≥0 时，可承受滚切加工。建立了高阶椭圆直齿轮四轴三联动和高阶椭圆斜齿轮四轴四联动滚切模型，并通过虚拟滚切和实例滚切进展了验证。该模型能够规定各联动轴脉冲频率间的关系，可用数控装置实现。基于工具〔斜〕齿条原理的虚拟滚切技术，呈现了滚切模型掌握下的刀位轨迹，可预显实际齿廓外形，避开盲目加工。虚拟滚切显示：符合可滚切条件的高阶椭圆齿轮能够承受滚齿加工，联动模型正确可行；节曲线有内凹的齿轮由于齿条节线的干预， 不能应用滚切技术。实例滚切及其测量结果与仿真结论全都。
鉴于蜗杆砂轮〔珩〕磨齿与滚齿原理相像，本文所述理论和成果可直接应用于蜗杆砂轮〔珩〕磨削高阶椭圆齿轮。
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