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全微分方程
微分形式一阶微分方程能够写成
()
假如上式左端恰是某个二元函数全微分,即
()
则称方程（）为全微分方程或者恰当方程。函数
称为微分方程（）原函数。
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比如方程
就是一个全微分方程。因为它左端
恰好是二元函数
全微分。函数就是方程
一个原函数。
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现在有两个基本问题：
1 判断微分方程（）是全微分方程？
2 假如方程（）是全微分方程，怎样求得原函数？
为了回答上述问题，首先查看当（）
是全微分方程时，函数应该具备什么性
质？从方程（）知应有
()
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和 ()
将（）和（）分别对 y 和 x 求导，得到

由连续性，可得
所以就有 ()
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于是，条件（）是（）成为全微
分方程必要条件。现在证实（）还
是（）成为全微分方程充分条件。
或者深入证实，假如方程（）满足
条件（），我们就能找到函数，使它
同时适合方程（）和（）。这么
就回答了上面提出两个问题。
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现在从关系式（）出发，将y 看
成参数，两边对x 积分得

这里g(y)是y 任意可微函数。下面来
选择g(x), 使u 同时满足（）。因为
所以
()
()
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现在证实（）右与x无关，也就是证实（）右端对x偏导数恒等于零。实际上
在我们假设下，上述交换求导次序是合理。于是（）右端只是 y函数，积分之，有
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将（）代入到（），即得到
()
所以，全微分方程通解是

()
其中C为任意常数。
()
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求原函数u 也能够化成定积分来做。将方程（两边对x积分，得
()
其中g(y)为y 任意可微函数。为了使u满足（），应该有
()
由参变量积分性质和条件（），
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上式即是
或
从而有
积分后，得
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