文档介绍：该【高二物理-等效重力场 】是由【PIKAQIU】上传分享，文档一共【15】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高二物理-等效重力场 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。带电粒子在匀强电场中的运动
----“等效重力场”法
一、等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最根本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而 言，它的四周不仅有重力场，还有匀强电场，同时争论这两种场对物体运动的影响，问题就会 变得简单一些。此时，假设能将重力场与电场合二为一，用一个全的“复合场”〔可形象称之 为“等效重力场”〕来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思维提升的表达。
二、概念类比
为了便利后续处理方法的迁移，必需首先搞清“等效重力场”中的局部概念与复合之前的相关概念之间关系。具体对应如下：
等效重力场 重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力 重力、电场力的合力
等效重力加速度 等效重力与物体质量的比值
等效“最低点” 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点” 物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能 等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
三、题型归类
1、单摆类问题〔振动的对称性〕
例 1、如图 2-1 所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为 。求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？
O E
O
E
αβ
B
O
E
α
B
α
T qE
B
图 2-1
图 2-2
m g
mg
图 2-3
运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动， 对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。
等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析〔如图2-2〕，将重力与电场力等效为一个恒力，将其称为等效重力可得：m g mg ，小球就做只受“重力”mg′与绳拉力运动，可等效为
cos
单摆运动。
规律应用：如图 2-3 所示，依据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，依据振动对称性即可得出，
当悬线与竖直线的夹角满足 2 ，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，
小球速度恰好为零。
针对训练：
O
θ
θ
E
C
A
B
1、如下图，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l 的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向〔即OA 方向〕成 θ 角．现将小球拉至细线与竖直方向成 2θ 角的 C 点，由静止将小球释放．假设重力加速度为 g ，则对于此后小球的受力和运动状况，以下推断中正确的选项是A．小球所受电场力的大小为mgtanθ
小球到B 点的速度最大
小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零
小球运动到A 点时所受绳的拉力最大答案：AB
2、用长为l 的细线悬挂一质量为m，带电荷量为+Q 的小球，将其置于水平方向向右且大小为E 的匀
强电场中，如以下图所示。现将小球固定于悬点的正下方且知电场力大于重力，求悬线受到的最大拉力。
的位置A 处，然后释放小球。已
解析：小球释放后受恒力mg、QE 和变力 FT的作用，在位置 A、B 之间做往复振动，电势能和重力势能、动能发生相互转化，则在点 A、B 之间必存在一个平衡位置〔切向加速度为零〕，由
运动的对称性可知，这个位置必定在点 A、B 中间，设为点 C，与竖直方向的夹角为θ，则
，等效重力加速度
。设点C 为等效重力势能的零势能面，则
1
mg l(1 - cosq ) = mv 2，F - mg = mv 2 / l ，
2 C T C
3、如图 2 所示，一条长为L 的细线上端固定，下端拴一个质量为m 的带电小球，将它置于一方向水平向右，场强为正的匀强电场中，当细线离开竖直位置偏角α时，小球处于平衡状态。
图 2
假设使细线的偏角由α增大到j ，然后将小球由静止释放。则j 应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？
假设α角很小，那么〔1〕问中带电小球由静止释放在到达竖直位置需多少时间？
解析：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，故不妨将两个力合成， 并称合力为“等效重力”，“等效重力”的大小为：
(mg)2 + (Eq)2
mg mg
= ，令 = mg” cosa cosa
这里的 g” =
g
可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成α角，如图 3 所示。这样一个
cosa
“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。
图 3
L cosa
g
在“等效重力场”中，观看者认为从A 点由静止开头摆至 B 点的速度为零。依据重力场中单摆摇摆的特点，可知j = 2a 。
L
g”
假设α角很小，则在等效重力场中，单摆的摇摆周期为T = 2p
B 的时间为单摆做简谐运动的半周期。
= 2p
，从A→
L cosa
g
即t = T = p 。
2
3
4、在水平方向的匀强电场中，用长为 L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为 m 的带电小球，小球静止
在 A 处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D 时的速度大小。
O
300
C
VCY
VCX
D
A
B
T
A 处时对球受力分析如右图:
F
且 F=mgtg300=
3
3
mg,
“等效”场力G’=
mg
(mg)2 + F 2
2 3
= mg 与T 反向
3
2 3
“等效”场加速度g’= g
3
从 B 到 C 小球在等效场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动,
3
2g” s
S= L V = =2
C
所以V =V sin600=
gL
3gL
CX C
V 在绳子拉力作用下，瞬时减小为零
CY
1
从 C 到 D 运用动能定理: W +W = m V
1
2-- m V 2
G F 2
(2 3 + 1)gL
V =
D
D 2 CX
5、如图 12，带正电的小球用细绳悬挂在两块无限大的平行板电容器间。小球悬点O，摆长为L，摆球质量为 m，两板间距为 d，两板间加电压为 U。今向正极板方向将摆球拉到水平位置B 然后无初速释放，小球在B、A 间来回振动，OA 为竖直线。
求：〔1〕小球所带电量为多少？ B O
小球最大速率为多少？
假设要使小球能做完整的圆周运动，在B 点至少需使小球具有多大的竖直向下的初速度？
+ A -
解析：⑴由题意可知小球运动的等效最低点为AB 弧的中点
且电场力qE 水平向左、重力mg 竖直向下，合力的方向由O 指向AB 弧中点，即O 点左向下 45° 则 qE=mg ，E=U/d 得 q=mgd/U
⑵从上一问分析可知小球将在AB 弧中点到达最大速度V ，电场力与重力的合力为 2mg ，由B 静
m
止运动到AB 弧中点的过程，依据动能定理得
2
(2 2 - 2)gL
1
mV 2 = 2mgL(1-
2 m
) 则 V ==
2 m
⑶小球圆周运动的等效最高点为O 点右向上 45°距离为L 处
在此处应具有的最小速度为
，设在B 点时具有竖直向下的速度为V ，由动能定理得
2gL
B
1 m 2gL - 2
1 mV 2 = - 2mg (L + L)
2
2 B 2
(3 2 + 2)gL
解得V =
B
6、〔12西城二模〕如下图，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m，电荷量为+q的小球。
整个装置处于水平向右，场强大小为3mg 的匀强电场中。
4q
求小球在电场中受到的电场力大小F；
当小球处于图中A位置时，保持静止状态。假设剪断细绳，求剪断瞬间小球的加速度大小a；
现把小球置于图中位置B处，使OB沿着水平方向，轻绳处于拉直状态。小球从位置B无初速度释放。不计小球受到的空气阻力。求小球通过最低点时的速度大小v。
B
E
A
解析：
小球所受的电场力 F = Eq =
3 2 分
4
F = Eq = 3 mg 2 分
4
依据平行四边形定则,小球受到的重力和电场力的的合力
5
F = 〔mg)2 + (Eq)2 =
合
mg 2 分
4
依据牛顿其次定律 F
合
= ma
·················2 分
所以，小球的加速度 a =
依据动能定理有 ：
5 g 2 分
4
mgl - Eql =
1 mv2 - 0 4 分
2
解 得： v =
2gl 2 分
2
例 1 如下图，倾角
的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度
2、类平抛运动
，有一个质量为
的带电小球，以速度
沿斜面匀速
撤去斜面，此后经
内小球的位移是多大？〔 取
〕
下滑，求：〔1〕小球带何种电荷？电荷量为多少？〔2〕在小球匀速下滑的某一时刻突然
如图可知，小球必带正电，且
，所以
；
解析：〔1〕由于小球匀速运动，所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡，
从“等效重力场”观点看，实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡，
故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为
、
。
做匀速直线运动，在 轴方向做“自由落体运动”，
则有
，其中
，
，
撤去斜面后，小球仅受等效重力作用，且具有与等效重力方向垂直的初速度，所以小球做“平抛运动”〔严格地讲是类平抛运动〕，根本处理的方法是运动的分解。如图，小球在 轴方向
解得：
，所以
内的总位移大小为
例 2：水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行于板的方向进入，假设微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，假设微粒带正电， 电量为q，仍以一样的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明上下板间带电性？
解：当微粒不带电时，只受重力做平抛运动d/4=1/2gt2，带电后，应依据极板电性不同分两种状况争论
〔1〕假设上极板带正电，下极板带负电〔如图a〕
微粒水平方向仍作匀速直线运动时间为t，竖直方向受 +
重力和电场力均向下，竖直位移s=1/2(g+qU/md) t2 ，要使
微粒不再射出电场，则s>d/2,解得U>mgd/q. G
〔2〕假设上极板带负电，下极板带正电〔如图b〕 F _
分析方法上同，只是此时电场力向上，竖直位移 _(a) F
G
+
(b)
s=1/2(qU/md-g) t2，要使微粒不再射出电场，则s>d/2, 解得 U>3mgd/，故当重力大于电场力时，微粒肯定能射出，满足条件。
3、竖直平面内的圆周运动
例 1、如图 3-1 所示，绝缘光滑轨道AB 局部为倾角为 30°的斜面，AC 局部为竖直平面上半径为
R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中。现
有一质量为m 的带正电，电量为q =
速度应为多大？
3mg
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在 O 点的初
3E
E
N
qE
R
300
mg
mg ¢
R
O
300
图 3-3 mg ¢
B
E
R
O
300
图 3-1
图 3-2
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道。
对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车。
等效分析：如图 3-2 所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力mg ¢，
大小 mg¢ =
= 2 3mg ， tgq = qE =
3
，得q = 30° ，于是重效
(qE)2 + (mg )2
3 mg 3
重力方向为垂直斜面对下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好供给
向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道。假设将斜面顺时针转过 300，就成了如图3-3 所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B，则 B 点应满足“重
力”当好供给向心力即： mg ¢ =
mv 2
B
R
假设以最小初速度 v
0
运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根
10 3gR 3
据动能定理： - mg ¢2R =
解得： v =
0
针对训练：
mv 2 - mv 2
1
2 B 2 0
1、水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂一质量为m 的带电小球，静止在A 处， AO 的连线与竖直方向夹角为 370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V ，小球便在竖直
0
面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V 至少应为多大？
0
B
O
370
A
解析：
静止时对球受力分析如右图
3
且F=mgtg370=
mg,
4
“等效”场力G’=
5
“等效”场加速度g’= g
4
5
(mg)2
F 2
= mg 与 T 反向
4
与重力场相类比可知: 小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位
g” R
置在 AO 连线B 处, 且最小的V =
B
1
从 B 到 A 运用动能定理: G’2R= m V
2 0
1
2-- m V 2
2 B
5 1 1 5
mg2R= m V 2-- m gR
4 2 0 2 4
gR
5
V =
0 2
2. 如以下图所示，在竖直平面内有水平方向的匀强电场，场强 E= ，有一质量 ，
带电荷量 的小球，用一长度 m 的细线拴住且悬于电场中的O 点，当小球处
于平衡位置静止时，问：在平衡位置以多大的初速度释放小球，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动？〔 〕
解析：小球在复合场中处于平衡时，受到恒力QE、mg 和变力F 的作用，设平衡位置在A 处，此时
T
悬线与竖直方向的夹角为θ，等效重力加速度
。
小球运动的最高点为AO 连线的反向延长线与圆弧的交点B。由于只有重力和电场力做功，故能
量守恒。取A 处为等效“重力零势能面”，则 ，即
。
假设要维持带电粒子做圆周运动，粒子到达最高点的临界条件为
。
则 ，
。
3、半径R= 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道
内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆心O 与 A 点的连线与竖直方向的夹角为q ， 如图 11 A 点时小球对轨道的压力F =120N，假设小球的最大动能比最小
N
〔1〕小球最小动能等于多少？
B
(2)假设小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经
时间后，其动能与在A 点时的动能相等，小球的质量是多少？
动能多 32J，且小球能够到达轨道上的任意一点〔不计空气阻力〕.试求： .
图 11
解析 〔1〕依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一个力F〔F 即为重力和电场力的合力〕，设小球动能最小位置在 B 处〔该点必在 A 点的对称位置〕，此时，由牛顿其次定
律和圆周运动向心力公式可得： F
N
F = m v2
A
R
， 从 A 到 B ， 由动能定理得：
-F × 2R = E
kB
E ，可解得： E
kA kA
= 40J ， E
kB
= 8J ， F = 20N
〔2〕撤去轨道后，小球将做类平抛运动〔BA 方向上匀加速、垂直于 OA 方向上匀速直线运动的合运动〕，依据机械能守恒， 后，将运动到过 A 点且垂直于 OA
度为： a =
F
，依据平抛运动规律可得：
m
2R =
1
at 2
，可解得： m =
Ft 2
4R
= 。
的绝缘光滑轨道，其中轨道的 BCD
⌒局部是半径为 R 的半圆环，轨道的
水平局部与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且 AB = R = . 把
一质量 m=100g、带电 q=10－4C 的小球，放在水平轨道的 A 点上面由静止开头被释放后，在轨道的内侧运动。〔g=10m/s2〕求：
它到达C 点时的速度是多大？
它到达C 点时对轨道压力是多大？
4、〔07 宣武〕〔此题 9 分〕如图 14 所示，ABCD 为表示直立放在场强为 E=104V/m 的水平匀强电场中
答案：〔9 分〕概述：对于此题，无论应用功能关系、动能定理或广义机械能守恒
定律观点，只要表达准确以及对应的方程符合标准，都要给相应的分。以下仅用动能定律的观点求解，供参考。〕
解：〔1〕、〔2〕设：小球在 C 点的速度大小是V ，对轨道的压力大小为N ，则
c C
对于小球由A→C 的过程中，应用动能定律列出：
1
- mgR = mV - 0
2
2
…………………①
C
〔3〕小球所能获得的最大动能是多少？
在 C 点的圆轨道径向应用牛顿其次定律，有： N
C
qE = m V 2
C
R
……②
4qER - 2gR m
解得：V =
C
〔3〕∵mg=qE=1N
N = 5qE - 2mg = 3N ④
∴合场的方向垂直于B、C 点的连线BC
∴合场势能最低的点在 B⌒C 的中点D 如图：… ⑤
∴小球的最大能动EKM：
C
= 2m / s ………③
E = Ep
KM
min
= Ep
D
= qER(1 + sin 45°) + (1 - cos 45°) = 2
5
J …………⑥ A
例 2：“最低点”类问题
如图 1-1 所示，ab 是半径为 R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。现在该平面内，将一带正电的粒子从a 点以一样的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些全部的点中，到达c 点时粒子的动能最大。∠cab=30°，假设不计重力和空气阻力，试求：〔1〕电场方向与 ac 间的夹角θ。
〔2〕假设小球在 a 点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好能落在 c 点，那么初动能为多大？
E c
b
30°
a
c
d
e
mg
b
30°
a
图 1-1 图 1-2 图 1-3
运动特点：小球只受恒定电场力作用下的运动
对应联想：重力场中存在的类似的问题，如图1-2 所示，在竖直平面内，从圆周的d 点以一样 的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些全部的点中， 可知到达圆周最低点 e 时小球的动能最大，且“最低点”e 的特点：重力方向上过圆心的直径上的点。
等效分析：重力场的问题中，存在一个“最低点”对应的速度最大。同理恒定电场中也是对应的“最低点”时速度最大，且“最低点”就是c 点。
规律应用：电场力方向即为如图 1-3 所示过圆心作一条过c 点的直径方向，由于粒子带正电， 电场方向应为斜向上，可得θ=30°。
解析：〔1〕对这道例题不少同学感到无从下手，其实在重力场中有一个我们格外生疏的事实：如图 1 所示，在竖直平面内，从圆周的a 点以一样的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些全部的点中，到达圆周最低点d 时小球的动能最大，最低点是过圆心的竖直直径的一点，依据这一事实，我们将电场等效为重力场，那么小球也应当是在“最低点” 时速度最大，所以过圆心作一条过 c 点的直径，这就是电场的方向，如图 2 所示，所以θ=30°。