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非线性规划
2/10/2025
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数学建模
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试验目标
试验内容
2． 掌握用数学软件求解优化问题．
1． 直观了解非线性规划基本内容．
1．非线性规划基本理论．
4．试验作业．
2． 用数学软件求解非线性规划．
3． 钢管订购及运输优化模型．
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数学建模
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*非线性规划基本解法
非线性规划基本概念
非线性规划
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数学建模
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定义 假如目标函数或约束条件中最少有一个是非线性函数,则最优化问题就叫做非线性规划问题．
非现性规划基本概念
普通形式:
（1）
其中 ， 是定义在 Rn 上实值函数，简记:
其它情况: 求目标函数最大值，或约束条件小于等于零两种情况，都可经过取其相反数化为上述普通形式．
1
n
j
1
n
i
1
n
R
:
h
,
R
:
g
,
R
:
R
R
R
f
®
®
®
(
)
n
T
n
R
x
x
x
X
Î
=
,
,
,
2
1
L
(
)
(
)
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
³
.
,...,
2
,
1
0
m;
1,2,...,
0
.
.
l
j
X
h
i
X
g
t
s
j
i
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定义1 把满足问题（1）中条件解 称为可行解（或可行点），全部可行点集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
问题(1)可简记为 ．
定义2 对于问题(1),设 ,若存在 ,使得对一切
,且 ,都有 ,则称X*是f(X)在D上局部极小值点（局部最优解）．尤其地,当 时，若
,则称X*是f(X)在D上严格局部极小值点（严格局部最优解）．
定义3 对于问题(1),设 ,若对任意 ,都有
则称X*是f(X)在D上全局极小值点（全局最优解）．尤其地,当
时，若 ,则称X*是f(X)在D上严格全局极小值点（严格全局最优解）．
返回
)
(
n
R
X
Î
(
)
(
)
{
}
n
j
i
R
X
X
h
X
g
X
D
Î
=
³
=
,
0
,
0
|
(
)
(
),
X
f
X
f
£
*
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非线性规划基本解法
SUTM外点法
SUTM内点法（障碍罚函数法）
1． 罚函数法
2． 近似规划法
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数学建模
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罚函数法
罚函数法基本思想是经过结构罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解．这类方法称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点法．
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数学建模
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其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M项称为罚项，这里罚函数只对不满足约束条件点实施处罚:当 时，满足各 ，故罚项为0，不受处罚．当 时,必有约束条件 ，故罚项大于0，要受处罚．
SUTM外点法
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数学建模
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罚函数法缺点：每个近似最优解Xk往往不是允许解，而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在解一系列无约束问题中，计算量太大，尤其是伴随Mk增大，可能造成错误．
1．任意给定初始点 X0，取M1>1，给定允许误差 ，令k=1；
2．求无约束极值问题 最优解，设Xk=X(Mk)，即
；
3．若存在 ，使 ,则取Mk>M( ),令k=k+1返回（2），不然，停顿迭代．得最优解 ．
计算时也可将收敛性判别准则 改为 ．
SUTM外点法(罚函数法)迭代步骤
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数学建模
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SUTM内点法（障碍函数法）
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
为障碍因子.
为障碍项，
或
其中称
或
：
结构障碍函数
r
X
g
r
X
g
r
X
g
r
X
f
r
X
I
X
g
r
X
f
r
X
I
r
X
I
m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
i
å
å
å
å
=
=
=
=
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+
=
1
1
1
1
1
ln
1
)
(
)
,
(
ln
,
,
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