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需要求二阶线性齐次常微分方程
第7章 二阶线性常微分方程
解。这里z是复变量， 和 是已知复变函数，称为方程系数， 是待求未知函数
线性常微分方程级数解法
利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程 级数解。详细为：
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(2)对于级数，存在是否收敛和收敛范围问题。用级数解法要选定某个点 作展开中心，得到解是以 为中心幂级数。另外还必须确定幂级数收敛圆，级数解只在收敛圆内部才有意义。
说明：
(1)级数解法是一个比较普遍方法，对方程无特殊要求。
二阶线性常微分方程解普通性质
二阶线性齐次常微分方程标准形式：
（7-1-0）
其中：w ( z )—未知复变函数，p (z )、q ( z )—已知
复变函数 (方程系数)
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在一定条件下 ( 如初始条件 )
满足(7-1-0) w( z )。
要求解问题：
方程(7-1-0)解性质 (解存在性、唯一性、稳定性、
单值性等) 由方程系数 p ( z)和 q ( z )解析性确定。
设 p ( z )和q ( z)在一定区域中，除若干个孤立奇点外，
是z单值解析函数。区域中点可分为两类：
：假如 p ( z)和 q ( z)都在点 邻域解析，
则 ： 称为方程常点。
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能够证实：在常点 邻域 内，方程(7-1-0)
(其中 任意常数)
例：求厄米特方程 在 邻域内解。
幂级数解。解详细形式：
有唯一满足初始条件
解1. 级数解形式
因为 在 解析 是方程常点。
级数解含有以下形式：
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比较同次幂系数，对上式作变换：
，求待定系数。
( ：任意常数)
级数解含有以下形式
令
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由上式可见，偶次幂与奇次幂项彼此独立，可分别用
表示。
因为上式在 邻域内成立，即是 z 一个恒等式，故 z
同次幂系数为0，则
——待定系数递推关系
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3. 线性无关解：
都是方程解，但线性无关。方程通解是
与 线性组合。
同理：
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3. 方程奇点：
只要两系数p(z)和q(z)之一在 点不解析， 就称为方程奇点。假如 最多是 p(z)一阶极点, q(z)二阶极点，则 称为方程正则奇点。不然，则 称为方程非正则奇点。
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定理1. 假如 是方程 奇点，则在 p(z)和 q(z) 都解析环状区域 内，方程两个线性无关解是
4. 正则奇点邻域级数解
补充：关于指标方程起源。
或
（7-1-2）
（7-1-3）
（7-1-1）
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能够看到，在 是方程奇点情形下，假如 或者
不是整数，或者 ， 方程都有多值函数解。
显然，把解(7-1-1)，(7-1-2)或(7-1-3)代入方程中去确定
时
会发觉所得到是一组无穷多个未知数联立方程。
但在一定条件下，会出现(7-1-1)，(7-1-2)或(7-1-3)式中
其中： 是常数
级数没有负幂项情形。这么解称为正则解。
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