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函数单调性、极值与最值问题
规范答题示例8
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典例8 (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).
(1)讨论f(x)单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a取值范围.
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规 范 解 答·分 步 得 分
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
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(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值，不合题意；
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.
所以，a取值范围是(0,1). 12分
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构 建 答 题 模 板
第一步
求导数：写出函数定义域，求函数导数.
第二步
定符号：经过讨论确定f′(x)符号.
第三步
写区间：利用f′(x)符号确定函数单调性.
第四步
求最值：依据函数单调性求出函数最值.
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评分细则 (1)函数求导正确给1分；
(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；
(3)求出最大值给2分；
(4)结构函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；
(5)经过分类讨论得出a范围，给2分.
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解答
(1)若a＝3，求f(x)单调区间；
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证实
(2)证实：f(x)只有一个零点．
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