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袁钰婷 高岳林 左汶鹭
摘 要：针对灰狼优化算法（GWO）在求解复杂优化问题时存在后期收敛速度慢、易陷入局部最优的不足，提出了一种渐进式分组狩猎的灰狼优化算法（PGGWO）。首先，设计了非线性多收敛因子以增强全局勘探能力、避免局部最优；其次，提出了渐进式位置更新策略，该策略引入长鼻浣熊的包围策略和动态权重因子，前者在提高收敛精度和速度的同时避免局部最优，后者则动态地提升算法的收敛速度及全局寻优性能；最后，通过与标准GWO、4个GWO先进变体以及4个竞争力较强的新型进化算法对比，验证了PGGWO的有效性和先进性。在24个Benchmark函数和3个实际工程优化问题上的实验结果表明，PGGWO在收敛精度和收敛速度上具有明显优势，并且对约束优化问题也是有效的。
Key：灰狼优化算法；渐进式分组狩猎；多收敛因子；动态权重因子；工程约束优化
：   文献标志码：A    ：1001-3695（2024）05-019-1409-11
doi： .1001-
Grey wolf optimization algorithm based on progressive grouping
hunting mechanism and its engineering applications
Abstract：Focus on the shortcomings of the GWO in solving complex optimization problems， such as slow convergence speed and easy to fall into local optimum， this paper proposed a grey wolf optimization algorithm based on progressive grouping hunting mechanism（PGGWO）. Firstly， it designed the nonlinear multi
convergence factors to enhance the global exploration ability and avoid local optimum. Secondly， it proposed a progressive location update strategy. The strategy introduced the encirclement strategy of coati and dynamic weight factors， the former avoided local optimum while improving convergence accuracy and speed， the latter dynamically improved the convergence speed and global optimization performance of the algorithm. Finally， through comparing with GWO， 4 advanced GWO variants and 4 new with strong competitiveness， the experiment verifies the effectiveness and advancement of PGGWO. The experimental results on 24 Benchmark functions and 3 practical engineering optimization problems show that PGGWO has obvious advantages in convergence accuracy and convergence speed， and is also effective for constrained optimization problems.
Key words：grey wolf optimizer（GWO）; progressive grouping hunting; multi convergence factor; dynamic weighting factor; engineering constrained optimization
0 引言
近年來，优化技术已被广泛应用于工程设计［1］、金融工程［2］、信息科学［3］和经济管理［4］等领域。然而，全局优化问题模型通常具有强非线性、复杂、高维的搜索空间，基于梯度信息的传统优化方法难以有效求解，因此不再适用。在过去的半个世纪里，群智能优化算法因其原理简单、实现容易、能以较大概率收敛到问题最优解等特点，在优化领域中被广泛应用［5］。常见的
群智能优化算法有遗传算法（genetic algorithm，GA）［6］、粒子群优化算法（particle swarm optimization，PSO）［7］、差分进化算法（differential evolution，DE）［8］、生物地理学优化算法（biogeo-graphy-based optimization，BBO）［9］、灰狼优化算法（GWO）［10］和白鲸优化算法（beluga whale optimization，BWO）［11］等。虽然群智能优化算法不能保证在所有情况下都能得到最优解，但是它们能够在可接受的时间内提供合理的解［12］，如非确定性多项式时间（NP-hard）问题［13］。尽管群智能优化算法由于参数少且通用性好而得到了广泛的应用，但其避免局部最优的能力仍然不足［14］。此外，随着现实世界优化问题日益趋向高维、复杂和多样化发展，经典的群智能优化算法难以有效求解高维优化问题。
GWO是由澳大利亚学者Mirjalili等人［10］依据自然界中灰狼种群严格的社会等级机制和狩猎行为提出的。首先，灰狼种群被划分为四个社会等级；其次，灰狼种群根据前三等级灰狼前一次迭代的位置进行更新。按照此过程不断循环进行位置移动，直至找到合适的猎物。GWO具有全局勘探能力强、调节参数少、原理简单、容易实现等优点。在单峰和多模态无约束基准函数的情况下，GWO的寻优性能明显优于GA、PSO和DE等，在未知的搜索空间中具有较为高效的性能。当对复合函数进行测试时，它能够高度避免局部最优。因此，研究发现GWO更适合解决现实世界的问题［15］。但是从GWO本身的进化机制来看，该算法在解决某些优化问题时仍存在后期收敛速度慢、易陷入局部最优的不足［16］。针对这些不足，國内外学者对其进行了改进，主要包括对灰狼种群初始化、算法参数、搜索机制进行改进和设计新的混合算法两方面。
王敏等人［17］利用反向学习策略产生初始灰狼种群以维持群体多样性，并对当前最优灰狼个体进行变异操作以减少算法出现早熟收敛的可能性，但生成反向种群的过程会增加不必要的计算量，且变异操作会出现将原本优秀的个体变差的可能性。Yu等人［18］则对此加以改善，以跳跃率Jr对部分个体生成反向解，并择优组成初始种群。Chen等人［19］通过随机添加自适应权重和搜索策略增强全局勘探能力，然而其收敛速度和精度需要提高。随后，Mafarja等人［20］提出了多种勘探与开发策略，增强了GWO算法的全局搜索和局部搜索能力，但划分多个阶段并使用其他算子将显著增加计算成本。Wang等人［21］提出了一种自适应平衡的GWO寻找高维分类的最佳特征子集，该算法采用自适应方法提高了算法的全局勘探能力。在算法融合上，刘紫燕等人［22］提出了一种基于杂交策略的自适应GWO，通过引进遗传杂交策略和蝠鲼觅食策略，有效提升了算法的收敛精度及全局寻优性能。李全耀等人［23］结合教与学优化算法（teaching-learning-based optimization， TLBO）［24］和PSO加快了算法的收敛速度，但其全局勘探能力仍有待加强。谢少鹏等人［25］针对GWO存在的局部搜索精度差的问题，从初始种群、收敛因子等方面着手，改善GWO的局部搜索能力及收敛速度，但其全局寻优性能有待提高。
虽然许多研究在一定程度上改善了GWO的性能，但在求解复杂多峰函数和某些工程应用时，后期收敛速度慢、易陷入局部最优的问题依然存在。
针对以上问题，本文提出了一种渐进式分组狩猎的灰狼优化算法（grey wolf optimization algorithm based on progressive grouping hunting mechanism， PGGWO）。
与现有文献相比，本文的贡献和主要创新点包括：a）设计非线性多收敛因子策略以模拟灰狼种群的包围与狩猎过程，避免局部最优；b）提出了一种渐进式位置更新策略，将灰狼种群分为两组，第一组灰狼学习长鼻浣熊的包围策略，另一组灰狼则遵循不同的学习率，动态地向猎物逼近，使得算法在提高收敛速度的同时增强全局勘探能力、提升算法精度。
1 标准GWO
GWO将灰狼种群的社会等级分为α、β、δ和ω四种。其中，第一层为α狼，是群体中的领导者，也是最优解；第二层为β狼，协助α狼进行决策，是次优解；第三层为δ狼，负责侦查、看护、放哨等事务，是第三最优解；最底层的为ω狼，听从前三等级的狼的领导。此外，GWO通过模拟灰狼种群的狩猎过程实现优化搜索的目的。
包围猎物
在追踪目标猎物时，灰狼通过式（1）（2）的位置更新方程围攻猎物。
其中：D表示猎物与灰狼之间的距离向量；|·|表示两个位置向量对应分量作差后取绝对值所得的向量；Xp（t）表示猎物的位置；X（t）为第i只灰狼的位置，i∈N，N为种群规模；X（t+1）为t+1时刻第i只灰狼的更新位置，t为当前迭代次数， T为最大迭代次数；A和C为两个系数向量，共同平衡算法的勘探和开发能力；r1和r2为［0，1］的随机向量；e为单位向量；收敛因子a又称为距离控制参数，随着迭代次数的增加，a从2线性减少到0。
跟踪猎杀猎物
为了模拟灰狼的狩猎行为，假设α、β和δ狼更了解猎物的潜在位置。于是保存迄今为止取得的三个最优解决方案，并利用这三者的位置来判断猎物所在的位置，同时强迫其他灰狼个体依据最优灰狼个体的位置来更新其位置，逐渐靠近猎物。灰狼个体的位置更新公式如下：
其中：Dα、Dβ和Dδ分别代表灰狼个体与α、β和δ狼之间的距离向量；Xα（t）、Xβ（t）、Xδ（t）分别表示α、β、δ狼的当前位置；X1（t）、X2（t）、X3（t）是ω狼分别根据α、β和δ狼的位置生成的指导位置，表示ω狼向α、β和δ狼靠近的方向和步长；Xi（t+1）为第i只灰狼根据α、β和δ狼的指导位置调整后的下一时刻的更新位置；A1、A2和A3的计算同式（3），C1、C2和C3的计算同式（4），表示狼群不同个体的勘探与开发，它们都是系数向量。
搜索和攻击猎物
GWO算法设计了A和C两个系数向量，以平衡勘探和开发能力。当|A|1时，强迫灰狼与猎物分离，希望找到更合适的猎物（全局最优解）。并且由式（3）可知，A的大小取决于收敛因子a的大小。组件C则用来帮助发现新的解决方案，表示灰狼所在的位置对猎物影响的随机权重。C>1表示影响权重较大，反之，表示影响权重较小，这有助于GWO算法更随机地进行搜索，同时可在优化过程中避免陷入局部最优。
GWO算法通过模拟灰狼种群搜索、包围和攻击猎物三个阶段的狩猎过程实现优化搜索的目的。标准GWO算法的流程如图1所示。
2 改进的GWO算法
非线性多收敛因子
GWO算法利用随机值大于1或小于-1的参数A来迫使灰狼与猎物分离，以模拟种群的分散程度。协调GWO全局勘探能力和局部开发能力的关键在于参数A的大小。随着迭代次数的增加，a从2线性减少到0，其对应的A值也在［-a，a］变化。因此，a的取值决定着算法的全局勘探能力和局部开发能力。然而，灰狼种群的包围与狩猎过程非常复杂，GWO原有的线性控制参数策略不能很好地模拟这一过程，导致算法易陷入局部最优。先前的研究已证明，使用非线性调整可以更好地平衡GWO的勘探与开发［26］。因此，近年来大多数国内外学者采用非线性控制参数方法进行改进。例如，文献［27］提出了二次函数控制参数的GWO，文献［25］提出了余弦控制参数的改进GWO的仿真策略。上述大多数改进都是对单一的收敛因子进行改进，忽略了灰狼种群社会等级制度的灵活性。为使算法的搜索更加灵活，文献［28］提出一种竞争引导策略来更新个体位置，该策略使用了三种不同的余弦收敛因子。本文受到文献［28，29］的启发，提出一种非线性的多收敛因子策略以便更好地提高勘探能力、避免局部最优。具体公式如下：
原算法的线性收敛因子a和本文改进的余弦收敛因子a1对勘探和开发的影响如图2（a）（b）所示，纵坐标均由式（3）根据对应的收敛因子计算。线性递减的收敛因子a导致|A|在迭代中期之后保持小于1，这在一定程度上限制了种群在迭代中后期的全局勘探能力；而非线性递减的a1使|A|在迭代的中后期保持大于1，这意味着使用该非线性余弦收敛因子可以让种群保持更长时间的勘探能力，并有更多机会跳出局部最优。