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考点 函数的零点与方程的根
1.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)=-,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
答案 C
2.(2014湖北,9,5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=x2-(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}
C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3}
答案 D
3.(2014重庆,10,5分)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案 A
4.(2014福建,15,4分)函数f(x)=的零点个数是 . 
答案 2
5.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为 . 
答案 (1,2)
6.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln x+,m∈R.
(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(2)讨论函数g(x)=f '(x)-零点的个数;
(3)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.
解析 (1)当m=e时, f(x)=ln x+,则 f '(x)=,
∴当x∈(0,e)时, f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减;
当x∈(e,+∞)时, f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增.
∴当x=e时, f(x)取得极小值f(e)=ln e+=2,
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设知,g(x)=f '(x)-=--(x>0),
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).
设φ(x)=-x3+x(x≥0),
则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递减.
∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,
∴φ(x)的最大值为φ(1)=.
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知
①当m>时,函数g(x)无零点;
②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;
当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
当0<m<时,函数g(x)有两个零点.
(3)对任意的b>a>0,<1恒成立,
等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.(*)
设h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x>0),
∴(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.
由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,
得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,
∴m≥,
∴m的取值范围是.