文档介绍：2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 曲线渐进线的条数
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【考点分析】:曲线的渐近线条数。
【求解过程】:C
方法一:利用函数图像的平移,将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。
由于,
可知, 的图像是由的图像向由右平移一个单位,再向上平移一个单位所得。
由于图像平移并不改变其渐进线的条数。
有两条渐进线,其中一条为水平渐近线,一条为垂直渐近线。
所以也有两条渐近线,选择C。
【相关补充】:函数平移口诀:上加下减,左加右减。
例如,把函数依次做以下四次的平移:(1)向上平移1个单位,(2)向下平移2个单位(3)向左平移1个单位(4)向右平移2个单位。则新函数的解析式为
。
方法二:直接求解函数的渐近线。
因为所以为水平渐进线。
又由于有水平渐进线,所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。
又因为所以为垂直渐进线。
综上所述,也有两条渐近线,选择C。
【相关补充】:斜渐进线的求解步骤:
考察是否有?若是,则转2)
考察是否有(常数)?,若是,则转3)
是否有存在?若是,则有斜渐进线,
上述任何一个步骤中,若否,则无斜渐进线。
在某个趋向下,若存在水平渐近线则一定不存在同一趋向下的斜渐近线。
【方法总结】:
方法一较为快速简单,方法二为常规的做法。
(2) 设函数其中n为正整数,则
(A)(B)(C)(D)
【考点分析】:单点处的函数值。
【求解过程】:A
方法一:利用乘积函数的导数公式
选择A。
方法二:利用单点处的导数定义
方法三:利用特值代入
【方法总结】:
方法一最直接,但是用乘积函数的导数公式计算较为复杂。
方法二求某一点的函数值直接利用导数定义,较为简单。
方法三代入特殊值的技巧在选择题中排除选项很常见,要掌握。
(3) 如果函数在(0,0)处连续,那么命题正确的是
(A)若极限存在,则在(0,0)处可微
(B)若极限存在,则在(0,0)处可微
(C)若在(0,0)处可微,则极限存在
(D)若在(0,0)处可微,则极限存在
【考点分析】:本题考查二元函数连续性,可微性与极限存在性,直接应用可微的定义。
【求解过程】: B
方法一:正向选择法
由于函数在(0,0)处连续,
如果极限存在,则必有=
这样极限存在等价于极限存在,
可知,,从而,由可微性的定义,可知
在(0,0)处可微。
方法二:反向排除法
(A),极限=1存在,而在(0,0)处偏导数不存在,所以不可微。排除A
(B)若极限存在,则在(0,0)处可微
(C)=1在(0,0)处可微,而极限不存在。排除B
(D)(0,0)处可微,而极限不存在。排除D
【方法小结】:
方法一直接从定义入手;
方法二通过观察已知函数快速构造反例。
(4)
设,则有
(A)(B)(C)(D)
【考点分析】:本题考查定积分的比较性质与区间变换。
【求解过程】:D
(5)
设=,=,=,=,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的是
(A)(B)(C)(D)
【考点分析】:本题考查向量组的线性相关性。
【求解过程】: C
方法一:利用若两向量对应分量成比例,则两向量线性相关。
可见与成比例,所以与线性相关,所以线性相关,选C。
方法二:联系行列式求解。
,所以线性相关,选C。
(6) 设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,,
,则=
(A)(B)(C)(D)
【考点分析】:本题考查矩阵分块乘法逆用,初等矩阵的逆矩阵,具体的数值矩阵的乘法。
【求解过程】:B
故
选择 B
【基础回顾】:初等矩阵的性质。
(7)
设随机变量与相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则=
(A)(B)(C)(D)
【考点分析】:本题考查指数分布的概率密度函数与二元函数的概率取值。
【基础回顾】:服从参数为的指数分布,则其概率密度为
【求解过程】:A
设随机变量与相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则
,,
(8)
将长度为1m的木棒随机的截成两段,则两段长度的相关系数为
(A)1(B)(C)(D)-1
【考点分析】:本题考查两随机变量线性相关系数。
【求解过程】:D
方法一:利用两随机变量线性相关系数的性质直观含义求解。
设两段长度分别为与,显然,,故两者是负线性相关,所以相关系数为-1。
方法二:利用相关系数的公式求解。
【方法小结】:方法一很简单快速,且利