文档介绍：逻辑学论文:极限思想的辩证思考
逻辑学论文:极限思想的辩证思考
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0引言。
微积分是研究客观世界运动现象的一门学科,我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述,用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。极限理论是微积分学的基础理论,贯穿整个微积分学。要学好微积分,必须认识和理解极限理论,而把握极限理论的前提,首先要认识极限思想。极限思想蕴涵着丰富的辩证思想,是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。
1极限思想与辩证哲学的联系。
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变与不变反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态,不变是相对的,变是绝对的,但它们在一定条件下又可相互转化。例如,平面内一条曲线C上某一点P的切线斜率为kp。除P点外曲线上点的斜率k是变量,kp是不变量,曲线上不同的点对应不同的斜率K,斜率k不可能等于kp,k与kp是变与不变的对立关系;同时,它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。当曲线上的点无限接近P点过程中,斜率k无限接近kp,变化的量向不变的量逐渐接近。当无限接近的结果产生质的飞跃时,变量转化为不变量,即变而不变,这体现了变与不变的统一关系。
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过程和结果在哲学上是辩证统一的关系,在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。在上例中,当曲线上的点无限接近点P的变化过程中,k是变化过程,kp是变化结果。一方面,无论曲线上点多么接近点P,都不能与点P重合,同样曲线上变化点的斜率k也不等于kp,这体现了过程与结果的对立性;另一方面,随着无限接近过程的进行,斜率k越来越接近kp,二者之间有紧密的联系,无限接近的变化结果使得斜率k转化为kp,这体现了过程与结果的统一性。所以,通过研究曲线上点斜率k的变化过程得到P点的斜率kp就是过程与结果的对立统一。
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在辨证法中,有限与极限是对立统一的。无限与有限有本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展,同时借助极限法,从有限认识无限[2]。例如,在极限式limn→∞xn=a中xn对应数列中的每一项,这些不同的数值xn既有相对静止性,又有绝对的运动性。数列中的每一项xn和a都是确定不变的量,是有限数;随着n无限增大,有限数xn向a无限接进,正是这些有限数xn的无限变化,体现了无限运动的变化过程,这种无限运动变化结果是数值。因此在极限思想中无限是有限的发展,有限是无限的结果,他们既是对立又是统一的。
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近似与精确是对立统一的关系,在一定条件下可相互转化,这种转化是理解数学运算的重要方法[2]。
在极限抽象的概念中,引入实例如圆内接正多边形面积,其内结多边形面积是该圆面积的近似值,当多边形的边数无限增大时,内结多变形面积无限接近圆面积,取极限后就可得到圆面积的精确值,这就是借助极限法,从近似认识精确。又如在极限式limn→∞xn=a中,当n无限增大时,数列的项x1,x2,,xn反映变量xn无限的变化过程,而a反映了变量xn无限变化的结果,每个xn都是a的近似值,并且当n越大,精确度越高;当n趋