文档介绍：现代控制理论
离散系统的完全能控性和能观性的判定
设
和
无和不影响能控性和能观性.
能控性判定
(1)时刻的一个状态能控的:
若和,使;
(2)时刻完全能控的:若的都是能控的;
(3)系统是完全能控的:若都是完全能控的.
能观性判定
(1)时刻的一个状态为能观的:
若由定;
(2)时刻完全能观: 若的都是能观的;
(3)系统完全能观:若都是完全能观的.
完全能控性和能观性判定定理
完全能控定理:
定常系统完全能控的ßà
行满秩.
证明如下:
设, 经n步, 使.
由,
用n代k, 得, 令, 则
.(能控公式)
对,有解à秩à行满秩.
完全能观定理:
线性定常系统完全能观ßà
证明如下:
因为
所以,
令,
得
唯一解ßà列满秩.
注: 系统能控, 步足够控.
连续系统的完全能控性和能观性的判定
若线性系统
对初始时刻t0和初始状态x(t),存在另一有限时刻t1,可以找到一个输入控制向量u(t),能在有限时间[t0,t1]内把系统从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,则称系统在t0时刻的初始状态x(t0)能控;若对状态空间中的所有状态都能控,则称系统在t0时刻状态完全可控;若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完全能控,简称为系统能控。即如果数学逻辑关系式:
为真,则称系统状态完全能控。
若系统存在某个状态x(t0)不满足上述条件,则称系统状态不完全可控,简称为系统状态不能控。
(代数判据)
定理:线性定常系统
状态完全能控的充分必要条件为下述之一成立。
矩阵函数的各行函数线性独立,即不存在非零常数向量,使得:
如下定义的能控性矩阵
满秩,即
对线性连续系统
若根据在有限的时间区间[t0,t1]内测量到的输出y(t),能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0),则称系统在t0时刻的初始状态x(t0)能观;若系统对t0时刻的状态空间的所有初始状态都能观,则称系统在t0时刻状态完全能观;若系统在所有时刻状态完全能观,则称系统状态完全能观,简称为系统能观。即如果数学逻辑关系式
为真,则称系统状态完全能观。
若系统存在某个状态x(t0)不满足上述条件,则称此系统是状态不完全能观的,简称系统为状态不完全能观。
(代数判据)
定理:线性定常连续系统,即
状态完全能观的充分必要条件为下述条件之一成立。
矩阵函数的各列函数线性独立,即不存在非零常数向量,使得
如下定义的能观性矩阵:
满秩,即:
极点配置
设计: (1) 完全能控à可在有限时间内,控制状态=0;
(2) 完全能控à且用状态反馈,使闭环系统à要稳定, 配极点
关键: 选K,使[A+BK]的特征值=所期望的位置。
定理:系统, 能由任意配置闭环极点Û系统完全能控。
证明如下:
必要性: (任意配置极点à为完全能控)
反证法. 若不完全能控,则可能控结构分解
令,由上式,得
其中,
à状态反馈只配置能控制部分特征值,与条件相矛盾.
à故系统必完全能控.
充分性: (为能控对à要证可任意配置极点)