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1．2 排列与组合
计数原理
排列组合的综合问题
/CONTENTS
01
学 习 目 标
02
预 习 导 学
03
典 例 精 析
04
课 堂 导 练
05
方 法 总 结
利用排列数公式和组合数公式解决排列、组合的综合问题．
基础梳理
排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题．它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队．因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”．
解排列组合的应用题，要注意四点：
仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．
深入分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑．这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错．
对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决．
由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．
1
2
3
自测自评
1. （2012年深中期末）值域为{2,5,10}，其对应关系为y=x2+1的函数的个数为（）
A. 1个 B. 27个 C. 39个 D. 8个
B
解析：分别由x2+1=2,x2+1=5,x2+1=10解得x=±1,x=±2,x=±，定义域中元素的选取分四种情况：
①取三个元素：有C12·C12·C12=8（种）②取四个元素：先从±1，±2，±3三组中选取一组C13，再从剩下的两组中选两个元素C12·C12，故共有C13·C12·C12=12（种）;③取五个元素：C56=6（种）;④取六个元素：1种.
由分类计数原理，共有8+12+6+1=27（种）.
6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，跑道中甲不能站在第一跑道也不能站在第二跑道，乙必须站在第五跑道或第六跑道，则不同的排法种数共有________．
从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是________(用数字作答)．
424
144
排列组合中特殊元素和特殊位置
01
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03
04
05
从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数．
能组成多少个没有重复数字的七位数？
在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？
在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
在(1)中的七位数中，任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？
跟踪练习
1．用0到9这十个数字，
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？
(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？
解析：(1)可以组成9 ＝4 536个四位数．
适合题意的四位奇数共有 ＝2240(个)．
(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：
三位数字全相同，如111,222，…，999，共9个；
01
三位数字全不同，共648个；
02
由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有900－9－648＝243(个)．
03