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不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》
一、单选题
1. 已知侧棱长为 的正四棱锥 的五个顶点都在同一个球面上，且球心在底面正方形 上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2. 已知等差数列 中， ，则数列 的公差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3. 定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，若 时， 恒成
立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
4. 若 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
5. 如图，正方体 的棱长为 ， 是棱 的中点， 是侧面 内一点，若 平面 ，且 长度的最大值为
，最小值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6. 设非零向量 ， 满足 ，则“ ”是“与 的夹角为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 设复数 ，则z的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
8. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点P是椭圆上一点，若 的最小值为 ，则 的最大值为
（ ）
A．4 B．2 C． D．
二、多选题
9. 如图1，在直角梯形ABCD中， ， ，点E，F分别为边AB，CD 上的点，且
.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面 平面EBCF，点 是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平
面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是（ ） : .
丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫
A．
B．点 的轨迹长度为
C．点 到平面EBCF 的最大距离为
D．当点 到平面EBCF 的距离最大时，三棱锥 外接球的表面积为
10. 已知 奇函数， 恒成立，且当 时， ，设 ，则（ ）
A．
B．函数 为周期函数
C．函数 在区间 上单调递减
D．函数 的图像既有对称轴又有对称中心
11. 在中国共产党第二十次全国代表大会召开期间，某学校组织了“喜庆二十大，永远跟党走，奋进新征程，①，本次比
赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，若球的体积为 ；如图②，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而
成，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与平面 所成的角为
B．经过三个顶点 的球的截面圆的面积为
C．异面直线 与 所成的角的余弦值为
D．球离球托底面 的最小距离为
三、填空题
12. 函数 的最小正周期为______________.
13. 一束光线由点 出发沿x轴反方向射向抛物线 上一点P，反射光线所在直线与抛物线交于另一点 Q，则弦 |PQ|的长
为___________.
14. 当函数 取得最大值时， =__________ ．
四、填空题
15. 已知矩形 ， ，过 作平面 ，使得平面 ，点 在 内，且 与 所成的角为 ，则点 的轨迹
为______ ， 长度的最小值为______ ．
五、填空题
16. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，记 ，则 ________ ；若数列 满足 ， : .
博观而约取，厚积而薄发。——苏轼
则 的最小值是________ ．
17. 直线 与 轴交于 点，交圆 于 ， 两点，过 点作圆 的切线， 轴上方的切点为 ，则
__________ ； 的面积为__________ ．
六、解答题
18. 化简： ．
七、解答题
19. 已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在区间 上是减函数，在 上是增函数．
（1）如果函数 （ ）的值域为 ，求b的值；
（2）研究函数 （常数 ）在定义域上的单调性，并说明理由；
（3）对函数 和 （常数 ）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结
论，不必证明），并求函数 （n是正整数）在区间 上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
八、解答题
20. 如图，在正四棱锥 中， ，点O为底面 的中心，点P在棱 上，且 的面积为1．
(1)若点P是 的中点，求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点P使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由．
九、解答题
21. 为了让广大市民亲近自然、畅享运动、强健体魄，某地政府在该地建造了大型生态体育公园，公园以 “水韵林风，运动康体 ”为主题，打
造集生态、健身、训练、比赛、休闲、文旅于一体的活动空间在公园开园之际，市直机关羽毛球赛在公园球类馆举行，现随机抽取 50名现场
观众进行每天户外运动时间（单位：分）的问卷调查，并将他们每天的户外运动时间绘制成频数分布表，如下：
运动时
60 及以
间
上
性别
男性 2 4 4 8 7 3 2
女性 3 5 7 2 1 1 1
（1）将抽取的 50名现场观众按每天户外运动时间分为 “坚持有氧运动 ”（户外运动时间不低于 30分钟）和 “没有坚持有氧运动 ”（户外运动时
间低于 30分钟）两类，根据所给数据完成下面的 列联表，并判断是否有 %的把握认为是否坚持有氧运动与性别有关 .
没有坚持有氧运动 坚持有氧运动
男性
女性
（2）从坚持有氧运动的观众中选取甲、乙、丙 3人进行友谊赛，比赛规则如下：①每场比赛有 2人参加，并决出胜负，另一人轮空；②上一
场比赛获胜的人与轮空的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一人首先获得两场胜利，则本次比赛结束此人获得冠军 .若甲胜乙的概 : .
臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥
率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，经过现场抽签，丙和乙先进行比赛，经过场比赛结束，求 的分布列和数学期望.
附： .
十、解答题
22. 已知函数 ， .
(1)讨论函数 与函数 的零点情况；
(2)若 ， 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.