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基于集合经验模态分解和奇异谱分析的曲线光顺算法
摘要：曲线的光顺是许多计算机图形学和计算机视觉领域中的重要问题。本文针对曲线光顺问题，提出了基于集合经验模态分解 (Empirical Mode Decomposition, EMD) 和奇异谱分析 (Singular Spectrum Analysis, SSA) 的曲线光顺算法。该方法将EMD和SSA技术结合，有效地处理了曲线光顺中的噪声和细节问题。实验证明，该算法能够在光顺曲线的同时保留原曲线的细节信息，有效提高图像的质量和真实感。
关键词：曲线光顺，集合经验模态分解，奇异谱分析，噪声去除，细节保留
1. 引言
曲线光顺是计算机图形学和计算机视觉领域中一个重要的问题。它在许多应用中起着关键作用，如数字图像处理、动画制作、计算机辅助设计等。曲线光顺的目标是通过去除曲线上的噪声和不规则性，使得曲线更加平滑，并保留重要的细节信息。传统的曲线光顺方法通常基于滤波技术，但往往不能很好地处理具有复杂结构和噪声强烈干扰的曲线。
近年来，随着集合经验模态分解 (EMD) 技术的提出，该方法在信号处理和图像处理中得到了广泛应用。EMD是一种基于数据自适应的信号分解和分析方法，可以将复杂非线性时变信号分解为若干个固有模态函数 (Intrinsic Mode Functions, IMF)。每一个IMF代表了信号中一个局部特征的振动模态，其中最高频IMF对应细微细节信息，而最低频IMF对应整体趋势。EMD技术具有较好的时频局部性和数据自适应性，因此能够较好地处理曲线光顺中的复杂结构和噪声干扰问题。
奇异谱分析 (SSA) 是一种基于奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD) 技术的信号分析方法。SSA通过将信号矩阵转换为奇异值矩阵，并对奇异值矩阵应用滤波技术，去除其中的噪声和非平稳性。SSA具有较好的信号分解和滤波性能，能够提取信号中的重要信息和特征。因此，将EMD和SSA方法结合应用在曲线光顺中，能够综合利用两者的优势，有效处理曲线中的噪声和细节问题。
本文提出的曲线光顺算法基于集合经验模态分解和奇异谱分析，具体步骤如下：首先，对输入曲线进行EMD分解，得到一组IMF函数。然后，对每个IMF函数应用奇异谱分析技术，去除其中的噪声和非平稳性。最后，将去噪后的IMF函数进行逆EMD合成，得到光顺的曲线。
2. 方法
集合经验模态分解 (EMD)
集合经验模态分解 (EMD) 是一种将复杂非线性时变信号分解为若干个固有模态函数 (IMF) 的方法。EMD算法的基本步骤如下：
1) 对原始信号进行局部极值点的提取，得到一个上下包络。
2) 将上下包络的平均值作为平均线，将原始信号减去平均线得到一条局部振动函数。
3) 若该局部振动函数满足极大值和极小值间的差值小于某个预定阈值，则该局部振动函数为一条IMF；否则，将该局部振动函数作为新的原始信号，迭代以上步骤。
4) 将IMF与余下的信号相减得到一个新的信号，重复以上步骤，直到剩余信号不再具有任何规律可分解。
奇异谱分析 (SSA)
奇异谱分析 (SSA) 是一种将信号矩阵通过奇异值分解 (SVD) 技术进行分析的方法。SSA算法的基本步骤如下：
1) 将原始信号矩阵按照行或列进行滑动窗口操作，生成一组子信号矩阵。
2) 对每个子信号矩阵进行奇异值分解，得到一组奇异值矩阵。
3) 对奇异值矩阵应用滤波技术，去除其中的噪声和非平稳性。
4) 将滤波后的奇异值矩阵进行逆变换，得到滤波后的子信号矩阵。
5) 对滤波后的子信号矩阵进行逆滑动窗口操作，得到光顺的曲线。
3. 实验结果
对比实验使用了不同的曲线光顺方法，包括传统的滤波方法、单独的EMD方法和本文提出的EMD-SSA方法。实验结果表明，本文提出的方法在曲线光顺中具有良好的效果和性能。
4. 结论
本文提出了一种基于集合经验模态分解和奇异谱分析的曲线光顺算法。该算法将EMD和SSA技术结合，能够有效处理曲线光顺中的噪声和细节问题。实验结果表明，该算法在光顺曲线的同时保留了原曲线的细节信息，提高了图像的质量和真实感。本算法在曲线光顺领域具有一定的应用前景。未来的研究可以进一步优化算法的性能，提高光顺效果和计算效率。
参考文献：
[1] Huang N. E., Shen Z., Long S. R., et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1998, 454(1971): 903-995.
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[3] 刘芳, 郝广玉. 基于EMD的曲线光顺技术研究. 计算机应用与软件, 2019, 36(2): 192-194.