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202X
3D射影几何和变换
点与直线
直线的齐次表示：ax+by+c=0
(a,b,c)’看做矢量，(ka,kb,kc)’也是矢量；
上述两个矢量是等价的，因为只差一个全局缩放因子，却都表示相同的直线；
这种等价关系下的等价类叫做齐次矢量；
在IR²中的矢量等价类的集合组成射影空间IP²，(0,0,0)’；
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表示：点，x=(x,y)’；直线I=(a,b,c)’；
ax+by+c=0;
方法：把“1”作为增加在点中的最后一个坐
标使IR²变成一个齐次矢量；
充要条件：(x,y,1)与(a,b,c)’的内积是
ax+by+c=0；
通式：点的齐次表示为x=(x1,x2,x3)’
x=(x1/x3,x2/x3)；
点的齐次表示
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理想点与无穷远线
两条平行线L1：ax+by+c=0
L2：ax+by+c‘=0
可以求得两条直线的交点为（bc’-bc,0,0）
这是点的齐次表示，当我们用非其次点来表示时会出现bc’-bc/0的问题，这就是说两条线的交点在无穷远处
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理想点与无穷远点
IR²是包含了那些在坐标齐次表示下x3!=0的点，当我们把x3=0的点与IR²集合起来，形成IP²，我们称IP²为射影空间。
X3=0的点叫理想点,或无穷远点，无穷远点的集合是一条直线，即无穷远线。
I=（0,0,1）表示无穷远线
任意直线与无穷远线的交点都是(b,-a,0)，所以无穷远线可以看作是平面上所有直线方向的集合
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点和射影变换
2D射影几何中点的非齐次表示(X,Y)，齐次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量(a,b,c).
3D射影几何中点X用齐次表示时需要一个4维矢量，齐次矢量X=(x1,x2,x3,x4),对应非齐次坐标(X,Y,Z),当X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4。在x4=0时，齐次点X表示无穷远点。
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平面、直线和二次曲面的表示和变换
直线公式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c).
平面公式：π1X+π2Y+π3Z+π4=0,矢量(π1,π2,π3,π4)’.
齐次化, X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4.
得到π1x1+π2x2+π3x3+π4x4=0
或简记为π’X=.
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联合与关联关系
平面可由一般位置的三个点或一条直线与一个点的联合来唯一确定
两张不同的平面交于唯一的直线
三张不同的平面相较于一点
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三点确定一张平面
(1)设三点Xi在平面π上,那么每点满足π’X=0
x1’ π1’
x2’ π=0 π2’ x=0
x3’ π3’
因为一般位置，所以它们线性无关
(2)矩阵M=[X,X1,X2,X3],，IMI=0
因为三点确定一个平面，再多一点，肯定可以用X1,X2,X3线性表示，所以不是满秩的。
IMI=X1D234-X2D134+X3D124-X4D123
π=(D234,D134,D124,D123)是(1)的解矢量,零空间
三点确定一张平面
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射影变换
在点变换X’=HX下，平面变换为π‘=H’‘‘π
平面上的点的参数表示
在平面π上的点X可以写成X=Mx
其中M是4*3矩阵，设平面π=(a,b,c,d)’
且a非零，那么M’可以写成M‘=[PII3*3]，其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)’
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