高等数学课件D7-8常系数非齐次线性微分方程.ppt

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第七章
第八节
常系数非齐次线性微分方程
汇报时间：12月20日
Annual Work
Summary Report
#2022
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
根据解的结构定理 , 其通解为
非齐次方程特解
齐次方程通解
求特解的方法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
①
— 待定系数法
一、
 为实数 ,
设特解为
其中 为待定多项式 ,
代入原方程 , 得
为 m 次多项式 .
(1) 若  不是特征方程的根,
则取
从而得到特解
形式为
Q (x) 为 m 次待定系数多项式
(2) 若 是特征方程的单根 ,
为m 次多项式,
故特解形式为
(3) 若  是特征方程的重根 ,
是 m 次多项式,
故特解形式为
小结
对方程①,
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
即
即
当 是特征方程的 k 重根 时,
可设
特解
例1.
的一个特解.
解: 本题
而特征方程为
不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得
于是所求特解为
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
的通解.
解: 本题
特征方程为
其根为
比较系数, 得
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为
因此特解为
代入方程得
所求通解为
例2.
第二步 求出如下两个方程的特解
分析思路:
第一步将 f (x) 转化为
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解
第四步 分析原方程特解的特点
二、
利用欧拉公式将 f (x) 变形
第一步
第二步 求如下两方程的特解
是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),
故
等式两边取共轭 :
为方程 ③ 的特解 .
②
③
设
则 ② 有
特解:
03
均为 m 次多项式 .
02
原方程
01
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
第三步 求原方程的特解