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第三节
一、泰勒公式的建立
三、泰勒公式的应用
应用
目的－用多项式近似表示函数.
理论分析
近似计算
泰勒公式
第三章
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精选课件
特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
在微分应用中近似公式 :
需要解决的问题
如何提高精度 ?
如何估计误差 ?
x 的一次多项式
2
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1. 求 n 次近似多项式
要求:
故
令
那么
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2. 余项估计
令
(称为余项) ,
那么有
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精选课件
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公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 ,
时, 有
①
其中
②
那么当
泰勒
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公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
注意到
③
④
* 可以证明:
④ 式成立
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特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
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称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
那么有
在泰勒公式中假设取
那么有误差估计式
假设在公式成立的区间上
麦克劳林
由此得近似公式
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二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
麦克劳林公式
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