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操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰
2025-2026学年华东师大版八年级数学上册《 乘法公式》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共 8 小题，满分 32 分）
1．如果多项式 x2+2x+k 是完全平方式，则常数 k 的值为（ ）
A ．1 B ．﹣ 1 C ．4 D ．﹣ 4
2．如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形， 根据图形阴影部分面积的关系，
可以直观地得到一个关于 a、b 的恒等式为（ ）
A ．a2﹣b2＝（ a+b）（a﹣b） B ．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C ．（a﹣b）2＝（ a+b）2﹣4ab D ．a2+ab ＝a（a+b）
3．下列运算正确的是（ ）
A ．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B ．（﹣ x+y）2＝﹣ x2+2 xy+y2
C ．（﹣ x﹣y）2＝﹣ x2﹣2xy﹣y2 D ．（x+y）（﹣ y+x）＝ x2﹣y2
4．2×（ 3+1 ）（32+1 ）（34+1）（38+1）（316+1 ）+1 的计算结果是（ ）
A ．332+1 B ．332﹣1 C ．331 D ．332
5．从前，一位农场主把一块边长为 a 米（ a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，
他对张老汉说：“我把这块地的一边增加 4 米，相邻的另一边减少 4 米，变成长方形土地
继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地
面积会（ ）
A ．没有变化 B ．变大了 C ．变小了 D ．无法确定
6．若（a+b）2＝25，a2+b2＝13 ，则 ab 的值为（ ）
A ．6 B ．﹣ 6 C ．12 D ．﹣ 12
7．如图，点 C 是线段 BG 上的一点，以 BC ，CG 为边向两边作正方形，面积分别是 S1 和
S2，两正方形的面积和 S1+S2＝40，已知 BG ＝8，则图中阴影部分面积为（ ） : .
饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。——《论语》
A ．6 B ．8 C ．10 D ．12
8．若 n 满足关系式（n﹣2020 ）2+（2021 ﹣n）2＝3，则代数式（n﹣2020 ）（2021 ﹣n）＝（ ）
A ．﹣ 1 B ．0 C ． D ．1
二．填空题（共 8 小题，满分 32 分）
9．若 x2﹣4x﹣1＝（ x+a）2﹣b，则 |a﹣b|＝ ．
10 ．如图，两个正方形的边长分别为 a，b（a＞b），若 a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面
积为 ．
11 ．若（ a+b）2＝9，（a﹣b）2＝4，则 a2+b2＝ ．
12．我们已经知道：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab +b2
再经过计算又可以知道：
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab 2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4 ab3+b4
将这些等式右边的系数从左到右进行排列，又得如图所示“三角形”形状，根据这个规
律，猜测（ a+b）5 的结果是 ． : .
吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎? ——《论语》
13．若 x2+2（m ﹣3）x+9 是完全平方式，则 m 的值等于 ．
14．计算 2022 2﹣2020 ×2024 的结果是 ．
15．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 40，则阴影部分的面积是 ．
16．现有两个正方形 A，B．如图所示进行两种方式摆放：方式 1：将 B 放在 A 的内部，得
甲图；方式 2：将 A，B 并列放置，构造新正方形得乙图．若甲图和乙图阴影部分的面积
分别为 1 和 12，则正方形 A，B 的面积之和为 ．
三．解答题（共 8 小题，满分 56 分）
17．计算： 2（2x﹣y）2﹣（ 3x﹣y）（3x+y）．
18 ．计算：（a+2b+c）（a+2b﹣c）﹣（ a+b﹣c）（a﹣b+c）．
19．回答下列问题
（1）填空： x2+ ＝（x+ ）2﹣ ＝（x﹣ ）2+
（2）若 a+ ＝5，则 a2+ ＝ ；
（3）若 a2﹣3a+1 ＝0，求 a2+ 的值． : .
士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎? ——《论语》
20．若 x、y 满足 x2+y2＝ ，xy＝﹣ ，求下列各式的值．
（1）（x+y）2
（2）x4+y4．
21．乘法公式的探究及应用．
（1）如图 1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式） ；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长
是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①×
②（2m +n﹣p）（2m ﹣n+p）
22．如图，边长为 a 的正方形中有一个边长为 b（b＜a）的小正方形，如图 2 是由图 1 中的
阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图 1 阴影部分的面积为 S1，图 2 中阴影部分的面积为 S2，请直接用含 a，b 的式
子表示 S1＝ ，S2＝ ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 ；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣ x﹣y）（y﹣ x）；
②102 ×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1 ）×（ 32+1）×（ 34+1）×（ 38+1）×（ 316+1）×…×（ 31024+1）+1 ． : .
不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》
23．数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片， A 种纸片是边长为 a 的正方形，
B 种纸片是边长为 b 的正方形，C 种纸片是长为 a、宽为 b 的长方形，并用 A 种纸片一张，
B 种纸片一张， C 种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
（1）观察图 2，请你写出下列三个代数式： （a+b）2，a2+b2，ab 之间的等量关系；
（2）若要拼出一个面积为 （a+2b）（a+b）的矩形，则需要 A 号卡片 1 张，B 号卡片 2 张，
C 号卡片 张．
（3）根据（ 1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： a+b＝5，a2+b2＝11 ，求 ab 的值；
②已知（ x﹣2019 ）2+（x﹣2021 ）2＝20 ，求 x﹣2020 的值．
24．若 x 满足（ x﹣4）（x﹣9）＝ 6，求（ x﹣4）2+（x﹣9）2 的值．阅读下面求解的方法：
解：设（ x﹣4）＝a，（x﹣9）＝b，则 ab ＝（ x﹣4）（x﹣9）＝ 6，a﹣b＝（ x﹣4）﹣（ x
﹣9）＝ 5
∴（ x﹣4）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（ a﹣b）2+2ab＝52+2×6＝37 ．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若 x 满足（ x﹣2）（x﹣5）＝ 10 ，求（ x﹣2）2+（x﹣5）2 的值；
（2）如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AD 、DC 上的点，且 AE ＝1，CF ＝3，长方
形 EMFD 的面积是 15，分别以 MF 、DF 为边作正方形，若 AD ＝x，则
①DE ＝ ，DF ＝ （用含 x 的代数式表示）；
②直接写出图中阴影部分的面积．
: .
非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮
: .
以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
参考答案
一．选择题（共 8 小题满分 32 分）
1．解：∵ 2x＝2×1•x，
∴k＝12＝1，
故选 A．
2．解：方法一阴影部分的面积为： （a﹣b）2，
方法二阴影部分的面积为： （a+b）2﹣4ab，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于 a、b 的恒等式为（ a﹣b）
2＝（ a+b）2﹣4ab ．
故选： C ．
3．解： A、结果是 y2﹣x2，故本选项不符合题意；
B、结果是 x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；
C 、结果是 x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；
D 、结果是 x2﹣y2，故本选项符合题意；
故选： D ．
4．解： 2×（ 3+1 ）（32+1 ）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（3﹣1）（3+1 ）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1 ）（38+1 ）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1 ）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1 ）+1
＝332﹣1+1
＝332，
故选： D ．
5．解：原来租的土地面积： a2（平方米）．
现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．
∵a2＞a2﹣16．
∴张老汉的租地面积会减少．
故选： C ．
6．解：∵（ a+b）2＝a2+2ab+b2＝25，a2+b2＝13， : .
其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》
∴2ab＝25﹣13＝12，
∴ab＝6，
故选：A．
7．解：设 BC ＝a，CG ＝b，则 S ＝a2，S ＝b2，a+b＝BG ＝8．
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