2025届黑龙江省哈尔滨三十二中高三学业水平考试试题数学试题.pdf

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长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。——李白
2025 届黑龙江省哈尔滨三十二中高三学业水平考试试题数学试题
注意事项 :
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
M x|2 x 6 N x|3 x log 35 
1．已知集合 ， ，则 M N （ ）
2
x|2 x log 35  x|3 x log 35 
A ． B ．
2 2
x |3 x 6 x|log 35 x 6
C ． D ．
2
2．已知函数 f(x)ln x ln(3 x)，则（ ）
f(x) 0,3 f(x) 0,3
A ．函数 在 上单调递增 B ．函数 在 上单调递减
3 3 
C ．函数 f(x)图像关于 x  对称 D ．函数 f(x)图像关于  ,0对称
2 2 
 
x 3 sinx sinx m 0,2 x x x x  m
3．已知关于 的方程   在区间 上有两个根 ， ，且 ，则实数 的取
2  1 2 1 2
值范围是（ ）
 1 
0, 1,2 0,1  0,1 
A ．   B ． C ． D ．
 2 
  
4．已知函数 f(x)x2 2x ，集合 A {x |f(x)0} ， B  x |f (x)0 ，则 A B （ ）
A ．[-1,0] B ．[-1,2]
C ．[0,1] D ． (,1] [2, )
5．用数学归纳法证明 ，则当 时，左端应在 的基础上加上（ ）
A ． B ．
C ． D ．
y2 2 px p 0 x C C l BC
6．抛物线 的准线与 轴的交点为点 ，过点 作直线 与抛物线交于 A 、B 两点，使得 A 是 的
中点，则直线 l的斜率为（ ） : .
天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。——《孟子》
1 2 2
A ．  B ．  C ． 1 D ．  3
3 3
7．已知命题 p :x 0 ,ln( x 1) 0 ；命题 q :若 a b ，则 a2 b2 ，下列命题为真命题的是（ ）
A ． p q B ． p q C ． p q D ． p q
8．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明 .图中包含四个全等的直
角三角形及一个小正方形（阴影） ，设直角三角形有一内角为 30 ，若向弦图内随机抛掷 500 颗米粒（米粒大小忽略不
计，取 3  ），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）

A ．134 B ．67 C ．182 D ．108
xcos x   
9．函数 f(x) 在  , 上的图象大致为（ ）
 
2x 2x  2 2 
A ． B ． C ．
D ．
  1 
10．已知函数 f(x)a e2x 2lnx (a 0) ， D  ,1若所有点(s,f(t)) ， (s,tD )所构成的平面区域面积为
 
e 
e2 1，则 a （ ）
1 e
A ． e B ． C ．1 D ．
e2 e2
11 ．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A ， B 两点， O AF 3 ，则直线 AB 的斜率为
( ) : .
老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃
A ．  2 B ．  2 C ． 2 2 D ． 2 2
 
fxsin(2 x ) (0, ) xR ,f(x) f f x
12．已知函数 ，其中 ，若  恒成立，则函数 的单调递增区
2 6 
间为（ ）
     2
A ． k ,k (k z) B ． k ,k (k z)
   
 3 6   3 3 
  2  2
C ． k ,k (k z) D ． k,k (k Z )
   
 3 3   3 
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13 ．已知一组数据 ，，2，，，则该组数据的方差是 _______ ．
x 1n 5 n 
14．已知 的展开式中第 项与第 7 项的二项式系数相等，则 __________.
2 n
 
15．若  x  的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是 ________ ．
 x2 
2x,x 1,
  
f x f f2
16．已知函数 log x,x 1, 则 ______.
 1

2
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知六面体 ABCDEF 如图所示， BE 平面 ABCD ， BE //AF ， AD //BC ， BC 1 ， CD  5 ，
FM 1
AB AF AD 2 ， M 是棱 FD 上的点，且满足  .
MD 2

（1）求证：直线BF //平面 MAC ；
（2）求二面角 A MC D 的正弦值 .
18 ．（12 分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了 100 人的体重数据，得到如下频率分布直
方图，以样本的频率作为总体的概率 . : .
天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。——《孟子》

1 100  2 ( )
（ ）估计这 人体重数据的平均值 和样本方差 ； 结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
55,65 
（2）从全校学生中随机抽取 3 名学生，记 X 为体重在 的人数，求 X 的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重 Y 近似服从正态分布 N (,2).若
P (2Y p 2) ，则认为该校学生的体重是正常的 .试判断该校学生的体重是否正常 ?并说明理由 .
19 ．（12 分）已知抛物线 C ： y2 4x 的焦点为 F ，过 C 上一点 P (1, t)（ t0 ）作两条倾斜角互补的直线分别与 C 交
于 M ， N 两点，
（1）证明：直线 MN 的斜率是－ 1；
（2）若 8 |MF |，|MN |，|NF |成等比数列，求直线 MN 的方程 .
20 ．（12 分）在 ABC 中， 3a sin C ccos A ．
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 S  3 ， b c 2 2 3 ，求 a 的值．
ABC
3 6