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丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫
2025 年中考数学“圆的有关计算与证明”专题卷（含答案）
一、解答题（共7 题）
， AB 为半圆 O 的直径， C 为 BA 延长线上一点， CD 切半圆 O 于点 D。连结 OD ，作 BE ⊥CD 于点 E，
交半圆 O 于点 F。已知 CE=12，BE=9
（1）求证： △COD ∽△CBE ；
（2）求半圆 O 的半径 的长
△ABC 内接于圆 O ，I是△ABC 的内心， AI 的延长线交圆 O 于点 D．
（1）求证： BD=DI ；
（2）若 OI⊥AD ，求 的值．
，四边形 ABCD 内接于 ⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 CA 的延长线上， ∠CAD=45°．
（Ⅰ）若 AB=4 ，求 的长；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP ，求证： PD 是⊙O 的切线．
，点 E 是△ABC 的内心， AE 的延长线交 BC 于点 F，交 △ABC 的外接圆 ⊙O 于点 D，连接 BD，过点 D
作直线 DM ，使 ∠BDM= ∠DAC ． （Ⅰ）求证：直线 DM 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）求证： DE2=DF•DA ．
5.(本题 10 分) 如图，已知： AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线， AD ⊥CD 于点 是 AB
延长线上一点， CE 交⊙O 于点 F,连结 OC,AC.
（1）求证 :AC 平分∠DAO.
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百学须先立志。——朱熹
（2）若 ∠DAO=105°，∠E=30°.
① 求∠OCE 的度数 .
② 若⊙O 的半径为 2 ，求线段 EF 的长.
， 为 的直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点 ，交
于点 ．已知 ， ．
（1）求 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
，已知等腰直角 △ABC ，点 P 是斜边 BC 上一点（不与 B，C 重合）， PE 是△ABP 的外接圆 ⊙O 的直
径
（1）求证： △APE 是等腰直角三角形；
（2）若⊙O 的直径为 2，求 的值
二、综合题（共20 题）
，已知 Rt△ABC ，∠C=90°，D 为 BC 的中点，以 AC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点
E．
（1）求证： DE 是⊙O 的切线；
（2）若 AE：EB=1 ：2，BC=6 ，求 AE 的长．
， AN 是⊙M 的直径， NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点 C．
（1）若点 A（0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点 B 的坐标；
（2）若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线 CD 是⊙M 的切线．
，在菱形 ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上，且 PA=PD ，⊙O 是△PAD 的外接圆．
（1）求证： AB 是⊙O 的切线；
（2）若 AC=8 ，tan∠BAC= ，求⊙O 的半径．
， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O 上一点， OD ⊥BC 于点 D，过点 C 作⊙O 的切线，交 OD 的延长线于
点 E，连接 BE．
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先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹
（1）求证： BE 与⊙O 相切；
（2）设 OE 交⊙O 于点 F，若 DF=1 ，BC=2 ，求阴影部分的面积．
，已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 为 BC 延长线上的一点，点 A 为圆上一点，且 AB=AD ，
AC=CD ．
（1）求证： △ACD ∽△BAD ；
（2）求证： AD 是⊙O 的切线．
，在平面直角坐标系中， Rt△ABC 的斜边 AB 在 y 轴上，边 AC 与 x 轴交于点 D，AE 平分 ∠BAC 交边
BC 于点 E，经过点 A、D、E 的圆的圆心 F 恰好在 y 轴上， ⊙F 与 y 轴相交于另一点
G ．
（1）求证： BC 是⊙F 的切线；
（2）若点 A、D 的坐标分别为 A（0，﹣ 1）， D（2，0），求 ⊙F 的半径；
（3）试探究线段 AG 、AD 、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
， △ABC 内接于 ⊙O ，BC 是⊙O 的直径，弦 AF 交 BC 于点 E，延长 BC 到点 D，连接 OA ，AD ，使得
∠FAC=∠AOD ，∠D=∠BAF．
（1）求证： AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 5，CE=2 ，求 EF 的长．
，已知直线 PT 与⊙O 相切于点 T，直线 PO 与⊙O 相交于 A，B 两点．
（1）求证： PT2=PA•PB ；
（2）若 PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．
， ⊙O 与 Rt△ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 分别相切于点 C、D，与边 BC 相交于点 F，OA 与 CD 相交
于点 E，连接 FE 并延长交 AC 边于点 G．
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好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》
（1）求证： DF∥AO ；
（2）若 AC=6 ，AB=10 ，求 CG 的长．
AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， AD 平分 ∠CAE 交⊙O 于点 D，且 AE ⊥CD ，垂足为点
E．
（1）求证：直线 CE 是⊙O 的切线．
（2）若 BC=3 ，CD=3 ，求弦 AD 的长．
， AC 为⊙O 的直径， B 为⊙O 上一点， ∠ACB=30°，延长 CB 至点 D，使得 CB=BD ，过点 D 作
DE⊥AC ，垂足 E 在 CA 的延长线上，连接 BE．
（1）求证： BE 是⊙O 的切线；
（2）当 BE=3 时，求图中阴影部分的面积．
， AB 是⊙O 的一条弦， E 是 AB 的中点，过点 E 作 EC⊥OA 于点 C，过点 B 作⊙O 的切线交 CE 的延
长线于点 D．
（1）求证： DB=DE ；
（2）若 AB=12 ，BD=5 ，求 ⊙O 的半径．
是⊙O 的直径， AT 是⊙O 的切线， ∠ABT=50°，BT 交⊙O 于点 C，E 是 AB 上一点，延长 CE 交⊙O
于点 D．
（1）如图 ① ，求∠T 和∠CDB 的大小；
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百学须先立志。——朱熹
（2）如图 ② ，当 BE=BC 时，求∠CDO 的大小．
，在 △ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CF∥AB，与过点 B 的切线交
于点 F，连接 BD．
（1）求证： BD=BF；
（2）若 AB=10 ，CD=4 ，求 BC 的长．
， AB 与⊙O 相切于点 C，OA ，OB 分别交 ⊙O 于点 D，E， =
（1）求证： OA=OB ；
（2）已知 AB=4 ，OA=4 ，求阴影部分的面积．
， ∠BAC 的平分线交 △ABC 的外接圆于点 D，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，
（1）求证： DE=DB ；
（2）若∠BAC=90°，BD=4 ，求△ABC 外接圆的半径．
，点 E 在以 AB 为直径的 ⊙O 上，点 C 是 的中点，过点 C 作 CD 垂直于 AE ，交 AE 的延长线于
点 D，连接 BE 交 AC 于点 F．
（1）求证： CD 是⊙O 的切线；
（2）若 cos∠CAD= ，BF=15 ，求 AC 的长．
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博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》
， AB 是⊙O 的直径， PB 与⊙O 相切于点 B，连接 PA 交⊙O 于点 C，连接
BC．
（1）求证： ∠BAC= ∠CBP；
（2）求证： PB 2=PC•PA ；
（3）当 AC=6 ，CP=3 时，求 sin∠PAB 的值．
，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径作 ⊙O 交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE 并延长
交 AC 的延长线于点 F．
（1）求证： DE 是⊙O 的切线；
（2）若 CF=2，DF=4 ，求 ⊙O 直径的长．
，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与直径 AB 相交于点 F．点 E 在⊙O 外，做直线 AE ，且 ∠EAC= ∠D
（1）求证：直线 AE 是⊙O 的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4 ，cos∠BAD= ，CF= ，求 BF 的长．
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子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。” ——《论语》
答案部分
一、解答题
1.（1）解： ∵CD 切半圆于点 D，OD 为⊙O 的半径，
∴CD ⊥OD,
∴∠CDO=90°,
∵BE⊥CD 于点 E,
∴∠E=90°.
∵∠CDO= ∠E=90°,∠C=∠C,
∴△COD ∽△CBE.
（2）解： ∵在 Rt△BEC 中， CE=12,BE=9,
∴CE=15,
∵△COD ∽△CBE,
∴ ,
即 ,
∴r= .
2.（1）证明： ∵点 I是△ABC 的内心
∴∠BAD= ∠CAD ，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD= ∠CAD
∴∠BAD= ∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD ，∠BAD= ∠CAD= ∠CBD ，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD ，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD ；
（2）解：连接 OA 、OD 、BD 和 BI，
∵OA=OD ，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I为△ABC 内心，
∴∠BAD= ∠BCD ，
∴弧 BD= 弧 CD，
∵弧 CD= 弧 CD，
∴∠BCD= ∠BAD ，
∴∠DBI=∠BCD+ ∠CBI=∠CAD+ ∠CBI，
= （∠BAC+ ∠ACB ），
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不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》
∵∠DIB= ∠DAB+ ∠ABI= （∠BAC+ ∠ABC ），
∴∠DIB= ∠DBI，
∴BD=ID=AI， ，
故 OD ⊥BC，记垂足为 E，则有 BE= BC，
作 IG⊥AB 于 G，又 ∠DBE= ∠IAG ，而 BD=AI ，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE= BC，但 AG= （AB+AC ﹣BC ），