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丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫
历届华杯赛决赛试题剖析 5
华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学组）
真题尝试 感
悟
心
得
一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）
1, 算式 10 — + [ —（ + —）]的值为.
2, 箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红 球后，红球的数
，则原来箱子里的红球与 黑球数量之比为.
3, 有两个体积之比为5:8的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和 宽同时增加6,其
面积增加了 .
4, 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90 袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数
是甲粮库的 2 ，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6 么甲粮库原来最少
存有 袋的粮食.
5, 现有 211名同学和四种不同的巧克力，
三颗巧克力，，则人数最多的一 组至少有 名同学.
6, 张兵 1953年出生，在今年之前的某一年，他的年龄是 9 的倍数并且是这一年的各位数字之和,
那么这一年他 岁.
7. 右图是一个五棱柱的平面展开图，图中的正方形边 按图所示数
长都为 2.
据，这个五棱柱的体积等于 .
8, 在乘法算式
重绿 x 花近了 =春光明媚
中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同的数字，那么春光明媚所代表的四位数最小 : .
天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。——《孟子》
真题尝试
二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过
程）
如右图 ,ABCD是平行四边形,E^]AB延长 K 为 AD延 线上一点, —
9.
A30D
BK, DE相交于 问：四边形 点 O. 否相等？
与四边形 ECKO的面积是 请说明理由.
大长方形，使
10,能否用500个右图所示的1x2的小长方形拼成一个5x200的
理由.
得 5x200的长方形的每--行、每…列都有偶数个星？请说明
〃位数的前〃.位数和后〃.位数各当成一个n 位数，如果这两个〃位数之和的平方正好等 于这个2〃位
数，则称这个2〃位数为卡布列克（Kabulek）怪数，例如，（30 + 25）2 =3025,所以 3025 是一个卡布列克怪
？ : .
老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃
真题尝试
12,已知 98 个互不相同的质数p"2, •••，& ，记 N = + + ••• + '*,问：N 被 3 除的余数是多
少？
三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）
13. 小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小李顺时针跑，每72 秒跑一圈；小
张逆时针跑，每80 』圆弧区间，那么两人同时在划定
4
的区间内所持续的时间为多少秒？
14. 把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1 的小立方块，其中，两 面有红色的小立
方块有 40 块，一面有红色的小立方块有66 块，那么这个长方体的体积是多少? : .
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。——李白
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛笔试试题 A 参考答案
（小学高年级组）
一、填空（每题 10 分，共 80 分） : .
老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 1:2 40 153 7 18 7 4396
二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）
：是 .
. 则
q = q _i_ v
2 ECKB — 2 ACEB
丁
=q _i_ V
_ %CEB
丁
=q = q
IWCE — \EAD
_ 口
所以
D ECKB AOBE
口
因此 S ECKO = S ABOD •即
四边形ABOD的面积=四边形ECKO的面积.
：能
：
今
4
*
今
然后用 50 个 5x4 的即可拼成5x 200的长方形. : .
博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》
11,答案：2025, 3025,9801.
+ y,其中 10MxV99,0Vy<99 .贝 U 由题意知 : .
天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》
x + y = (x+ y)2(mod99),
因此 99l(x+y)(x + y —1),故 x+y 与 x+y — 1中有一个能被9 整除，也有一个能被11整 除(可能是同一
个数)，且有 102 <(x + y)2 =100x + y<1002,即
10 < x + y <100. (*)
若 x + y 能被99整除，由(*)知 x+y只能是99,满足条件的四位数是9801；若 x+y -1 能被 99 整除，由(*),
显然没有满足条件的四位数；此外，可设x+y =9m, x + y —1 = 11/7,则有 9,M -1 bi=l,山(*) ,m 和"均为小于
12 的正整数，故得到m = 5, 〃 = 4, x+y 只能是45,满足条件的四位数是2025；反之，可设x+y —l=9m,
x+y =11 M ,满足条件 的四位数是3025.
故四位数中有二个卡布列克怪数，它们分别为2025, 3025和 9801.
12, 答案：1 或 2
, 32 被 3 ，要么是34+1型的数，要么是34+ 2型的数. 由于
(3* + 1)2 =9* + 6*+1 = 3(3声 + 2 幻+ 1,
被 3 除余 1,且
(3k + 2尸=9 摩 +12* + 4 = 3(3摩 4/： + 1) 1,
+ +
被 3 除也余
(1) 若这 98个质数包含3 时,N 被 3 除的余数等于97 被 3 除的余数，等于1.
(2) 若这 98 个质数不包含3 时,N 被 3 除的余数等于98 被 3 除的余数，等于2.
三、解答下列各题 (每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程 )
13. 答案:3, 9,11,18
秒时刻，则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为
[0,9], [12k-9,12k+ 9], * = 1,2,3，…，
[0,10], [80/M - 10,80/M +10], m = : .
吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎? ——《论语》
其中[a, b]表不第 a 秒时刻至第"[0,9]即前 9 秒里两类时间段的公共部分. 此外，考虑[12k-
9,12k+ 9] [80m-10,80m+ 10]的公共区间 ,k,m为正整数，分两种 情况：
1) 72k = 80m,即小李和小张分别跑了上圈和m 圈同时回到起点，他们二人同时在划 定区域跑了 18
秒.
2) 72* N 80wi,例如