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一、常数项级数的概念
二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件
*四、柯西审敛原理
第一节
第十二章
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一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
边形,
这个和逼近于圆的面积 A .
设 a0 表示
即
内接正三角形面积,
ak 表示边数
增加时增加的面积,
则圆内接正
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引例2. (神秘的康托尔集)
把[0,1]区间三等分, 舍弃中
间的开区间
将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃
在中间的开区间,
如此反复进行这种“弃中”操作,
问丢弃部
分的总长和剩下部分的总长各是多少？
丢弃的各开区间长依次为
故丢弃部分总长
剩余部分总长
剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,
它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上, 人们称其为康托尔集.
0
1
(此式计算用到后面的例1)
3
引例3.
小球从 1 m 高处自由落下, 每次跳起的高度减
问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
由自由落体运动方程
知
则小球运动的时间为
( s )
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,
(此式计算用到
后面的例1)
少一半,
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定义：
给定一个数列
将各项依
即
称上式为无穷级数，
其中第 n 项
叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
次相加, 简记为
收敛 ,
则称无穷级数
并称 S 为级数的和,
记作
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当级数收敛时, 称差值
为级数的余项.
则称无穷级数发散 .
显然
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例1. 讨论等比级数
(又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
从而
因此级数收敛 ,
从而
则部分和
因此级数发散 .
其和为
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2). 若
因此级数发散 ;
因此
n 为奇数
n 为偶数
从而
综合 1)、2)可知,
时, 等比级数收敛 ;
时, 等比级数发散 .
则
级数成为
不存在 , 因此级数发散.
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
所以级数 (1) 发散 ;
技巧:
利用 “拆项相消” 求和
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(2)
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求和
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