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一阶偏微分方程模型
偏微分方程的相关概念
等。
如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的，则称它是线性的；如果它关于所有最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性的。
偏微分方程：一个包含有多元未知函数及其偏导数的等式。方程中所含未知函数偏导数的最高阶数称为该方程的阶。如：
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定解问题：定解条件通常包括边界条件和初始条件两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解问题，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问题和混合问题。
方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区域内的解（古典解）。满足某些特定条件的解称为特解，这些条件称为定解条件。一般情况下，一个具有n个自变量的m阶方程的解可以含有m个n-1元任意函数，这样的解称为通解。
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一阶线性偏微分方程
显然方程有平凡解u=常数。一般求其非平凡解。
以下以含有3个自变量的方程为例，一般形式为
一阶齐次线性偏微分方程
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常微分方程组
添加标题
01
添加标题
称为方程(2)的特征方程组，每一条积分曲线
02
添加标题
称为方程(2)的特征线。
03
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则特征方程组(3)的通解为
若特征方程组(3)的3个独立的首次积分为
若由特征方程组(3)推出函数 恒为常数，则称该函数为方程组(3)的一个首次积分。
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例1. 求解方程组
积分为
解：由
01
02
再由
得
得
，因此得到一个首次
03
，因此得到另一个首次积分为
于是原方程的隐式通解为
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由(3)可得
01
单击此处添加小标题
03
单击此处添加小标题
的一个首次积分。
05
单击此处添加小标题
，则它也称为(3)
02
单击此处添加小标题
若(4)的一个首次积分为
04
单击此处添加小标题
于是得到方程组(3)的一个等价形式：
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定理2：如果 是(4)的两个独立的首次积分，则它们的任意连续可微函数 是(2)的通解。
证明从略。
对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征方程组(3)或(4)，我们有以下结论：
定理1：连续可微函数 是(2)的解的充分必要条件是 是(4)的首次积分。
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例2. 求解方程
为任意二元连续可微函数。
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，其中
05
于是原方程的隐式通解为
04
首次积分为
03
或
02
解：特征方程组为
01
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