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人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合是把握数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思
想，实现数形结合。 它将“静态”为“动态”，变“无形”为“有形”。它一方面是解题的
过程，又是学生形象思维与抽象思维协同运用互相促进， 共同发展的过程， 对提高学生的观
察能力和思维能力是非常有帮助的。 数形结合思想在初中数学中的应用范畴包涵以下几个方
面：
1、有理数中的数学结合思想
数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉． 对于每一个有理数， 数轴上都
有唯一确定的点与它对应， 因此，两个有理数大小的比较， 是通过这两个有理数在数轴上的
对应点的位置关系进行的 (实数的大小比较也是如此 )．相反数、绝对值概念则是通过数轴上
的点与原点的位置关系来刻画的．尽管我们学它的形(数轴上
的点)，通过数形结合的思想方法的运用，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法
则．相关内容的中考试题，应用数形结合的思想也可顺利得以解决。
例如：有理数的加法与减法教学时，安排下列数学活动：
（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向正方向移动 3 个单位长度，在向负方向移动 2 个
单位长度，这时笔尖停在表示“1”的位置上。用数轴和算式可以将以上过程及结果表示。
（2）把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动 3 个单位长度，再向负方向移动 2 个
单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？请用数轴和算式表示以上过程及结果。
这样设计教学让学生从“形”上感受有理数的加法运算法则， 采用人人都可以动手操作
的笔尖在数轴上两次移动的方法， 直观感受两次连续运动中， 点的运动方向与移动的距离对
实际移动效果产生的影响， 通过“形与数”的转换，加深学生对有理数加法运算法则的理解。
在学生充分自由活动的基础上， 用“数形结合”的观点审视在数轴上的连续两次运动， 探寻
有理数加法的几何解释。 由表示两次连续运动结果的点与原点的位置关系， 确定两数和的符
号；由表示两次连续运动结果的点到原点的距离，确定两数和的绝对值。
2、方程中隐含的数形结合思想
列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程， 要突破这一难点， 往往
就要根据题意画出相应的示意图． 这里隐含着数形结合的思想方法． 例如，行程问题教学中，
老师应渗透数形结合的思想方法， 依据题意画出相应的示意图． 才能帮助初一学生迅速找出
等量关系列出方程，从而突破难点。
3、不等式中蕴藏着数形结合思想
教材在安排“解一元一次不等式组”的内容时， 创设了这样的问题情境“杜鹃花种植问
题”，意图是想让学生理解解一元一次不等式与二元一次方程组一样， 需同时满足两个约束
条件，让学生经历从问题到不等式组的建模过程。 为了加深学生对不等式解集的理解， 老师
要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来， 使学生形象地看到， 不等式有无数多个
解．这里蕴藏着数形结合的思想方法． 在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现， 而在数
轴上表示数集， 则比在数轴上表示数又前进了一步． 确定一元一次不等式组的解集时， 利用
数轴更为有效。
4、函数及其图像内容凸显了数形结合思想
因为在直角坐标系中， 有序实数对(x ，y) 与点 P 的一对应， 使函数与其图像的数形结合
成为必然．一个函数可以用图形来表示， 而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性 : .
以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
质和特点， 这为数学的研究与应用提供了很大的帮助． 因此．函数及其图像内容突显了数形
结合的思想方法．教学时我们应注重数形结合思想方法的渗透， 这样会收到事半功倍的效果．
例如：在教学二次函数的应用时，设计这样的问题，如图所示 ,桃河公园要建造圆形喷
OA,O 恰在水面中心 ,OA=. 由柱子顶端 A
处的喷头向外喷水 ,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下 ,为使水流形状较为漂亮 ,要求
设计成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 .
(1) 如果不计其它因素 ,那么水池的半径至少要多少 m,才能使喷出的水流不致落到池
外？
(2) 若水流喷出的抛物线形状与(1) 相同 ,水池的半径为 , 要使水流不落到池外 ,此
时水流的最大高度应达到多少 m( 精确到 ) ？
安排学生活动：（ 1）分析实际问题中的量，分清常量、变量及变量的变化范围；（ 2）
探索量与量之间的关系，变量的变化规律，确定函数关系；（ 3）根据函数关系式，求二次
函数的最大值或最小值；（ 4）考查所得到的二次函数的最大值或最小值是否符合实际问题
的意义， 明晰结论。 这样设计能根据实际问题中数量变化关系的图象特征， 用相关的二次函
数知识解决实际问题。 引导学生从探索具体问题中的函数关系的经历中， 体验将实际问题数
学化的过程， 体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效的数学模型， 进而获得相应的数
学思想、方法和技能，感受数学的价值。
“数以形而直观，形以数而入微”．这是我国数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论
述． 数形结合的思想． 是通过数形问的对应与互助来研究并解决问题的思想， 是最基本的数
学思想之一， 应用范围较为广泛， 对于解决实际问题提供了巧妙的思想方法． 数形结合的思
想方法，是研究数学问题的一个基本方法．深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、
分析问题和解决问题的能力。