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饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。——《论语》
2025-2026学年浙江省杭州市西湖区八年级（上）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，共 ）
1. 点ᵄ(0,−3)在( )
A. ᵆ轴上 B. ᵆ轴上 C. 第二象限 D. 第四象限
2. 若“存在 ᵆ> + ᵄ= 1成立“是真命题，则 ᵄ的取值范围是 ( )
A. ᵄ< 0 B. ᵄ≤0 C. ᵄ> 0 D. ᵄ≥0
3. 如图，在△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃ= 90°，点ᵃ在ᵃᵃ上，ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，
垂足为ᵃ，则△ᵃᵃᵃ的ᵃᵃ边上的高是 ( )
A. ᵃᵃ
B. ᵃᵃ
C. ᵃᵃ
D. ᵃᵃ
4. 在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：
销售价 /元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为 ᵆ元，销售量为 ᵆ件，估计：当 ᵆ= 127时，ᵆ的值为 ( )
A. 63 B. 59 C. 53 D. 43
5. 在锐角△ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ= 13，ᵃᵃ= 20，ᵃᵃ边上的高为 12，则△ᵃᵃᵃ的面积是 ( )
A. 66 B. 126 C. 120 D. 68
6. 若直线ᵅ经过点 (0,3)，直线ᵅ经过点 (5,2)，且ᵅ与ᵅ关于ᵆ轴对称，则 ᵅ与ᵅ的交点
1 2 1 2 1 2
坐标为 ( )
A. (−2,0) B. (2,0) C. (−3,0) D. (3,0)
7. 在以如图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线ᵃᵃ平分∠ᵃᵃᵃ的是( )
A. 图1和图2 B. 图1和图3 C. 图3 D. 图2和图3
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其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》
8. 在平面直角坐标系 ᵆᵄᵆ中，直线 ᵆ= 2ᵆ+ 2和直线 ᵆ= −2ᵆ+ 4分别交ᵆ轴于点 ᵃ和
，与 ᵆ轴的交点在线段 ᵃᵃ上的是 ( )
A. ᵆ= ᵆ+ 2 B. ᵆ= √2ᵆ+ 2 C. ᵆ= 4ᵆ−12 D. ᵆ= √3ᵆ−3
9. 如图，在△ᵃᵃᵃ中，已知点 ᵃ，ᵃ，ᵃ分别为 ᵃᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ的
中点，且阴影部分图形面积等于 4平方厘米，则△ᵃᵃᵃ的面
积为( )平方厘米．
A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
10. 一次函数 ᵆ = ᵄᵆ+ ᵄ与ᵆ = ᵅᵆ+ ᵅ的图象如图所示，下列说法： ① 对于函数 ᵆ =
1 2 1
ᵄᵆ+ ᵄ来说，ᵆ随ᵆ的增大而增大； ② 函数ᵆ= ᵄᵆ+ ᵅ不经过第二象限； ③ 不等式
1
ᵄᵆ−ᵅ≥ᵅᵆ−ᵄ的解集是 ᵆ≥4；④ᵄ−ᵅ= (ᵅ−ᵄ)，其中正确的是 ( )
4
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
二、填空题（本大题共 6 小题，共 ）
11. 若点ᵄ(2,3)关于ᵆ轴的对称点是点 ᵄ′(ᵄ+ 1,3)，则ᵄ= ______ ．
12. 已知△ᵃᵄᵃ和△ᵃᵃᵃ如图摆放，其中 ∠ᵃᵄᵃ= ∠ᵃᵃᵃ= 90°，∠ᵃ=
30°，ᵄᵃ= ᵄᵃ，点ᵄ在ᵃᵃ
上，则∠ᵃᵄᵃ= ______ °.
13. 若不等式 (ᵅ−6)ᵆ> ᵅ−6，两边同除以 (ᵅ−6)，得ᵆ< 1，则ᵅ的取值范围为
______ ．
14. 如图，将长，宽分别为 √2，1的长方形纸片剪成四个等
腰三角形纸片(无余纸片)，则四个等腰三角形的腰长均
为______ ．
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非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮
15. 如图，在ᵄᵆ△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃᵃᵃ= 90°，∠ᵃ= 30°，点ᵃ，
ᵃ，ᵃ分别是线段 ᵃᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ的中点，下列结论：① △
②ᵄ = 1 ᵄ .③ᵃᵃ=
ᵃᵃᵃ为等边三角形．
四边形ᵃᵃᵃᵃ 2 △ᵃᵃᵃ
√3ᵃᵃ.④ᵃᵃ= ______ ．
16. 对于任意实数 ᵅ，ᵅ，定义一种运算：ᵅ@ ᵅ= ᵅ−ᵅ+ ᵅᵅ，例如2@ 3 = 2 −3 + 2 ×3 =
2@ᵆ < 4
： 若关于 ᵆ的不等式组 { ；有3个整数解，则ᵅ的
ᵆ***@2 ≥ᵅ
取值范围为 ______ ．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 ）
17. 平面直角坐标系中，已知直线 ᵅ经过原点与点 ᵄ(ᵅ,2ᵅ)，直线ᵅ：ᵆ= ᵅᵆ+ 2ᵅ−
1 2
3(ᵅ≠0)．
(1)求证：点 (−2,−3)在直线ᵅ上；
2
(2)当ᵅ= 2时，请判断直线 ᵅ与ᵅ是否相交？
1 2
18. 如图，在 △ᵃᵃᵃ中，点ᵃ是ᵃᵃ中点，ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，
且ᵃᵃ= ： △ᵃᵃᵃ是等腰三角形．
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非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮
19. 已知ᵄ，ᵄ是某一等腰三角形的底边长与腰长，且 ᵄ+ 2ᵄ= 3．
(1)求ᵄ的取值范围；
(2)设ᵅ= 3ᵄ+ 2ᵄ，求ᵅ的取值范围．
20. 已知点 ᵄ(3ᵄ−15,2−ᵄ)．
(1)若点ᵄ到ᵆ轴的距离是 3，试求出 ᵄ的值；
(2)在(1)题的条件下，点 ᵄ如果是点 ᵄ向上平移 2个单位长度得到的，试求出点 ᵄ的
坐标；
(3)若点ᵄ位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点 ᵄ的坐标．
21. 如图，已知 △ᵃᵃᵃ和△ᵃᵃᵃ，ᵃᵃ= ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=
∠ᵃᵃᵃ，∠ᵃ= ∠ᵃ，ᵃᵃ与ᵃᵃ交于点ᵄ，点ᵃ在ᵃᵃ上．
(1)求证：ᵃᵃ= ᵃᵃ；
(2)若∠ᵃ= 30°，∠ᵃᵄᵃ= 70°．
① 求∠ᵃ的度数；
② 求证：ᵃᵄ= ᵃᵃ．
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士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎? ——《论语》
22. 已知一次函数 ᵆ = ᵄᵆ+ ᵄ，ᵆ = ᵄᵆ+ ᵄ(ᵄᵄ≠0，且ᵄ≠ᵄ)．
1 2
(1)若ᵆ过点(1,2)与点(2,ᵄ−ᵄ−3)求ᵆ的函数表达式；
1 1
(2)ᵆ与ᵆ的图象交于点 ᵃ(ᵅ,ᵅ)，用含 ᵄ，ᵄ的代数式表示 ᵅ；
1 2
(3)设ᵆ = ᵆ −ᵆ，ᵆ = ᵆ −ᵆ，当ᵆ > ᵆ时，求ᵆ的取值范围．
3 1 2 4 2 1 3 4
23. 已知△ᵃᵃᵃ