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()
这里共有 个插值条件，可唯一确定一个次数不超过
的多项式 ，
问题是求插值多项式 ，
设在节点 上，
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
满足条件
其形式为
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将满足条件（）的插值多项式 写成用插
值基函数表示的形式
()
先求出 个插值基函数 及 ，
每一个基函数都是 次多项式，
且满足条件
()
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令
由条件（），有
由插值基函数所满足的条件（），有
下面的问题就是如何求出这些基函数 及
利用拉格朗日插值基函数
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解出
由于
整理得
5
于是
()
两端取对数再求导，得
同理，可得
()
6
可以证明满足条件（）的插值多项式是惟一的.
用反证法，假设 及 均满足条件（），
这样， 有 重根，但 是不高于 次的多 项式，
于是
在每个节点 上的值及导数值均为零，即 为二重根.
故
惟一性成立.
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其中 且与 有关.
若 在 内的 阶导数存在，则其插值
余项
()
仿照拉格朗日插值余项的证明方法，可以证明：
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插值多项式（）的重要特例是 的情形.
这时可取节点为 及 ，
插值多项式为 ，
()
相应的插值基函数为
它们满足条件
满足
9
10
()
()
根据 及 的一般表达式（）及（），
可得到