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操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰
2025 年黑龙江省佳木斯一中高考数学三模试卷（理科）
1. ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2. “ ”是“1 ，m ，9 成等比数列”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 ，则 与 的夹角等于( )
A. B. C. D.
4. 如图 1 为某省2019 年 月份快递业务量统计图，图2 为该省2019 年 月份
快递业务收入统计图，对统计图理解不正确的是( )
A. 2019 年 月份快递业务量3 月份最高，2 月份最低，差值接近2000 万件
B. 从 月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长
C. 从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致
D. 2019 年 月份快递业务量同比增长率均超过 ，在 3 月份最高，和春节后网购迎
来喷涨有关
5. 佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作， 组织了 6 名教师组成志愿服务小组，分配
到东门、西门、中门 3 个楼门进行志愿服务．由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人
数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配 1 个志愿服务小组，每个志愿服务小组
只能在 1 个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为 ( )
A. 240 B. 180 C. 690 D. 150
6. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变
化，总结了丰富的 “看云识天气 ”的经验，并将这些经验编成谚语，如 “天上钩钩云，地上
雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后 ”…… 小波同学为了验证 “日落云里走，雨在半夜后 ”，
观察了所在地区 A 的 100 天日落和夜晚天气，得到如下 列联表：
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学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎
夜晚天气
下雨 未下雨
日落云里走
出现 25 5
未出现 25 45
临界值表
k
并计算得到 ，下列小波对地区 A 天气判断不正确的是( )
A. 夜晚下雨的概率约为
B. 未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C. 有 的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D. 出现“日落云里走”，有 的把握认为夜晚会下雨
7. 如图，已知圆锥的底面半径为 2 ，母线长为 4 ，AB 为圆锥底面
圆的直径，C 是 的中点，D 是母线 SA 的中点，则异面直线 SC
与 BD 所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 十九世纪下半叶集合论的创立，“康托三分集”是数学理
性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三段，去
掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三
段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作； …，如此这样，每次在上一次操作的基础
上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段 .操作过程不断地进行下
去，以至无穷，剩下的区间集合即是 “康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于 ，
则需要操作的次数 n 的最小值为参考数据： ， ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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百川东到海，何时复西归?少壮不努力，老大徒伤悲。——汉乐府
9. 已知函数 图象向左平移 个单位后关于直线 对
称，则下列关于函数 说法正确的是( )
A. 在区间 上有一个零点 B. 关于 对称
C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上的最大值为 2
10. ，则 a ，b ，c 的大小关系是( )
A. B. C. D.
11. 已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且倾斜角为 的直线交抛
物线于点 在第一象限 ， ，垂足为 N，直线 NF 交 x 轴于点 D，若
，则抛物线的方程是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数 ，则函数 的所有零点之和为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
13. 的展开式中常数项是______ 用数字作答
14. 若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的
弦长为 ，则 C 的离心率为______.
15. 任意一个复数 z 都可以表示成三角形式，即 棣莫弗定理是由
法国数学家棣莫弗 年 创立的，指的是：设两个复数 用三角函数形式表示
， ，则：
”，已知复数 ，则 ______.
16. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，
M、N、P 分别是 ， ， 的中点，Q 是线段
上的动点，则下列命题：
①不存在点 Q，使 平面 MBN；
②三棱锥 的体积是定值；
③ 平面 PMN；
④经过 C、M、B、N 四点的球的表面积为
正确的是______.
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先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹
17. 在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a ，b ，c，满足
求角 B 的值；
已知 D 在边 AC 上，且 ， ，求 面积的最大值．
18. 2022 年，是中国共产主义青年团成立 100 周年，为引导和带动青少年重温共青团百
年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛， 现从中随机抽取了 100 名学
生的成绩组成样本，并将得分分成以下6 组： 、 、 、…、 ，
统计结果如图所示：
试估计这100名学生得分的平均数；
从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈
名单中随机抽取3 人，记其得分在 的人数为，试求的分布列和数学期望；
以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X 近似地
服从正态分布 ，其中近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，经计算
现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取 500人，若这500名学生的得分相互
独立，试问得分高于 77分的人数最有可能是多少？
参考数据： ， ，
19. 已知梯形 ABCD和矩形 在平面图形中， ，
现将矩形 CDEF沿 CD进行如图所示的翻折．M 为 AE的中点．
设 N 是 BC的中点，求证： 平面CDEF；
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以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
在翻折的过程中，当二面角 的大小为 时，求直线 BM 与平面 BCE 所成
角的正弦值．
20. 已知椭圆 C： ，左焦点为 ，上顶点为 ，直线 BF
与椭圆交于另一点 Q，且 ，且点 在椭圆上．
求椭圆 C 的方程；
设 ， ，M 是椭圆 C 上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线
交于点 P，直线 与直线 交于点 证明： 是等腰三角形．
21. 定义在 上的函数
当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
的所有极值点为 ， ，…， ，若 … ，求 m 的值．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 以坐标原点 O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点．若点 恰为线
段 AB 的一个三等分点，求正数 m 的值．
23. 已知函数
解不等式 ；
设 M 是函数 的最小值，若